2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程学案（含解析）北师大版选修1 -1

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1、3．1　双曲线及其标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一　双曲线的定义1．平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的集合叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．2．关于“小于

4、F1F2

5、”：①若将“小于

6、F1F2

7、”改为“等于

8、F1F2

9、”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；

10、②若将“小于

11、F1F2

12、”改为“大于

13、F1F2

14、”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．3．若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．4．若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二　双曲线的标准方程1．双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2＋b2＝c22.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，

15、它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．3．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．4．标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．1．平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线．(　×　)2．平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于

16、F1F2

17、)的点的轨迹是双曲线．(　×　)3

18、．在双曲线方程－＝1(a>0，b>0)中，a2＝b2＋c2.(　×　)题型一　求双曲线的标准方程例1　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．考点　双曲线的标准方程的求法题点　待定系数法求双曲线的标准方程解　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设双曲线的方

19、程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.反思感悟　求双曲线方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论．(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．跟踪训练1　根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；

20、(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.考点　双曲线的标准方程的求法题点　待定系数法求双曲线的标准方程解　(1)∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点坐标为(，4)或(－，4)．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.题型二

21、　由双曲线的标准方程求参数例2　方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)A．(－2，－1)B．(－2，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)考点　双曲线的标准方程题点　已知方程判断曲线的类型答案　A解析　由题意可知，(2＋m)(m＋1)<0，∴－21，则关于x，y的方程(1－k

22、)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线考点　双曲线的标准方程题点　已知方程判断曲线的类型答案　C解析　原方程化为－＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．题型三　双曲线的定义及应用例3　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，

23、AB

24、＝m，F1为双曲线