2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程学案(含解析)北师大版选修1 -1

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1、3.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一 双曲线的定义1.平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的集合叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2.关于“小于

4、F1F2

5、”:①若将“小于

6、F1F2

7、”改为“等于

8、F1F2

9、”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点);

10、②若将“小于

11、F1F2

12、”改为“大于

13、F1F2

14、”,其余条件不变,则动点轨迹不存在.3.若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的一支.4.若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.知识点二 双曲线的标准方程1.双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系式a2+b2=c22.焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,

15、它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.3.双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).4.标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,注意这里的b2=c2-a2与椭圆中的b2=a2-c2相区别.1.平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线.( × )2.平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于

16、F1F2

17、)的点的轨迹是双曲线.( × )3

18、.在双曲线方程-=1(a>0,b>0)中,a2=b2+c2.( × )题型一 求双曲线的标准方程例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)a=4,经过点A;(2)经过点(3,0),(-6,-3).考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把A点的坐标代入,得b2=-×<0,不符合题意;当焦点在y轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把A点的坐标代入,得b2=9,∴所求双曲线的标准方程为-=1.(2)设双曲线的方

19、程为mx2+ny2=1(mn<0),∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3),∴解得∴所求双曲线的标准方程为-=1.反思感悟 求双曲线方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似,也是“先定型,后定量”,利用待定系数法求解.(2)当焦点位置不确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论.(3)当已知双曲线经过两点,求双曲线的标准方程时,把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0)的形式求解.跟踪训练1 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上;

20、(2)与椭圆+=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4.考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)∵焦点在x轴上,c=,∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(-5,2),∴-=1,∴λ=5或λ=30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是-y2=1.(2)椭圆+=1的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点坐标为(,4)或(-,4).设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则解得故所求双曲线的标准方程为-=1.题型二

21、 由双曲线的标准方程求参数例2 方程+=1表示双曲线,则m的取值范围是(  )A.(-2,-1)B.(-2,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-2)∪(-1,+∞)考点 双曲线的标准方程题点 已知方程判断曲线的类型答案 A解析 由题意可知,(2+m)(m+1)<0,∴-21,则关于x,y的方程(1-k

22、)x2+y2=k2-1所表示的曲线是(  )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线考点 双曲线的标准方程题点 已知方程判断曲线的类型答案 C解析 原方程化为-=1,∵k>1,∴k2-1>0,k+1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.题型三 双曲线的定义及应用例3 (1)如图,已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,

23、AB

24、=m,F1为双曲线

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