2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式学案新人教A版

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1、一　二维形式的柯西不等式学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)教材整理　二维形式的柯西不等式阅读教材P31～P36，完成下列问题．内容等号成立的条件代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2当且仅当ad＝bc时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则

2、α·β

3、≤

4、α

5、

6、β

7、当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等

8、号成立已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.B　[2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝.]二维柯西不等式的向量形式及应用【例1】　已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.[精彩点拨]　为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．＝·＝.又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴≤p2＋q2≤，∴≤·，则(p＋q)4≤8(p＋q)．又p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式

9、a

10、＝对数学式子变形的影响．1

11、．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？[解]　设m＝(p，q)，n＝(1,1)，则p＋q＝p·1＋q·1＝

12、m·n

13、≤

14、m

15、·

16、n

17、＝·.又p2＋q2＝2.∴p＋q≤·＝2.故仍有结论p＋q≤2成立.运用柯西不等式求最值【例2】　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．[精彩点拨]　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．[自主解答]　由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥，当且仅当2x×1＝3y×1，即x＝，y＝时取等号

18、．∴4x2＋9y2的最小值为.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．[解]　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.所以x2＋y2≥，当且仅当＝时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组∴因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.二维柯西不等式代数形式的应用[探究问题]在二维形式的柯西不等式中，取等

19、号的条件可以写成＝吗？[提示]　不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．【例3】　已知

20、3x＋4y

21、＝5，求证：x2＋y2≥1.[精彩点拨]　探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．[自主解答]　由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥.又因为

22、3x＋4y

23、＝5，所以＝1，即x2＋y2≥1.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等

24、方法才能发现问题的本质，找到突破口．3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.[证明]　根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2]＋≥＝(a＋b)2＝4.∴＋≥＝2，当且仅当·＝·，即a＝b＝1时等号成立．∴＋≥2.1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为(　　)A.　　　　　　　　B．169C．13D．0C　[(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.]2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　)A．2B.C．6D．12D　[(＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4

25、(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．故选D.]3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，

26、b

27、＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.[解析]　

28、a

29、＝＝5，且

30、b

31、＝1，∴a·b＝

32、a

33、·

34、b

35、，因此，b与a共线，且方向相同，∴b＝.[答案]　4．已知x，y＞0，的最小值为4，则xy＝________.[解析]　∵≥＝，∴＝4.又＞0，∴＝1，∴xy＝1.[答案]　15