2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：函数与导数第12课时　导数在研究函数中的应用（含答案）

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1、第二章　函数与导数第12课时　导数在研究函数中的应用1.函数y＝3x2－6lnx的单调减区间是__________．答案：[0，1]2.已知函数f[x]＝x－sinx，则f[x]在[0，π]上的值域为________．答案：解析：f′[x]＝－cosx，令f′[x]＝0，得x＝，经检验知当x＝时，函数f[x]取最小值．3.已知函数f[x]的导函数f′[x]＝a[x＋1][x－a]，若f[x]在x＝a处取到极大值，则实数a的取值范围是________．答案：[－1，0]解析：分a>0，－1

2、若f[x]＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是__________．答案：m≥解析：f′[x]＝2x3－6x2＝2x2[x－3]，所以f[x]在x＝3处取最小值．要使f[x]＋9≥0恒成立，只需f[3]＋9≥0，解得m≥.5.若函数f[x]＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．答案：[－2，2]解析：f′[x]＝3x2－3，令f′[x]＝0得x＝±1.当x∈[－∞，－1]时，f′[x]>0；当x∈[－1，1]时，f′[x]<0；当x∈[1，＋∞]时，f′[x]>0.函数f[x]在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值．要使函数有3个不同的零点，只需两个极值

3、异号即可，∴f[－1]f[1]<0，即[a＋2][a－2]<0，a∈[－2，2]．6.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________．答案：解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx[202－x2][0＜x＜20]，V′＝π[400－3x2]，令V′＝0，解得x1＝，x2＝－[舍去]．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0；∴当x＝时，V取最大值．7.若函数f[x]＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是________．答案：a≥3解析：f′[x]＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g[x]＝－2x，求导可得g[x]在

4、上的最大值为3，所以a≥3.8.已知x、y为正数，则＋的最大值为________．答案：解析：因为x、y为正数，所以设u＝＋＝＋.令t＝[t>0]，则u＝＋＝＋，所以u′＝－＋＝－，令u′＝0，得t＝1，且当t∈[0，1]时，u′>0，当t∈[1，＋∞]时，u′<0，所以当t＝1时，u的最大值为.9.已知函数f[x]＝x3－3ax2－bx，其中a、b为实数．[1]若f[x]在x＝1处取得的极值为2，求a、b的值；[2]若f[x]在区间[－1，2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围．解：[1]由题意知：f′[1]＝0且f[1]＝2，即解得a＝，b＝－5.　[2]∵f′[x]＝3x2－6ax－

5、b＝3x2－6ax－9a，又f[x]在[－1，2]上为减函数，∴f′[x]≤0对x∈[－1，2]恒成立，即3x2－6ax－9a≤0对x∈[－1，2]恒成立．∴f′[－1]≤0且f′[2]≤0，即a≥1，∴a的取值范围是a≥1.10.工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入P[x][元]与当天生产的件数x[件]之间的关系为P[x]＝设当天利润为y元．[1]写出y关于x的函数关系式；[2]要使当天利润最大，当天应生产多少件零件？[注：利润等于销售收入减去总成本]解：[1]当0

6、＋81x－100；当x>10时，y＝x－2x－100＝－2x－＋420.∴y＝[2]设y＝h[t]＝①当00；当910时，y′＝－－2.令y′＝0，得t＝11.当100；当t>11时，y′<0.当t＝11时，ymax＝387.∵x∈N*，∴综合①②知，当x＝11时，y取得最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．11.[文]已知函数f[x]＝ax2－2x＋2＋lnx，a∈R.[1]当a＝0时，求f[x]的单调增区间；[2]若f[x

7、]在[1，＋∞]上只有一个极值点，求实数a的取值范围．解：[1]当a＝0时，f[x]＝－2x＋2＋lnx.令f′[x]＝－2＝＞0，解得0＜x＜，所以f[x]的单调增区间为或.[2]令f′[x]＝ax－2＋＝＝0，f[x]在[1，＋∞]上只有一个极值点f′[x]＝0在[1，＋∞]上只有一个根且不是重根．令g[x]＝ax2－2x＋1，x∈[1，＋∞]．①当a＝0时，g[x]＝－2x＋1，不符合在[