2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：函数与导数第13课时　函数模型及其应用（含答案）

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1、第二章　函数与导数第13课时　函数模型及其应用1.某产品的总成本y[万元]与产量x[台]之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈[0，240]，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时[销售收入不小于总成本]的最低产量为________台．答案：150解析：由题意可得25x－yy＝0.1x2＋5x－3000≥0，解得x≤－200或x≥150.2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t[min]后的温度是T，则T－Ta＝[T0－Ta]·，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．

2、现有一杯88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min，那么这杯咖啡要从40℃降到32℃，还需________时间．答案：10解析：由题设知Ta＝24℃，令T0＝88，T＝40，t＝20，代入T－Ta＝[T0－Ta]·，得h＝10，令T0＝40，T＝32，代入可得t＝10.3.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间[min]为f[x]＝[A、c为常数]．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．答案：60，16解析：当A>4时，解得c＝60,A＝

3、16；当A≤4时，无解．4.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为________．[参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4770]答案：14解析：由[1－20%]n<5%，n>log0.80.05，化简得n>，解得n>13.4，则n的最小值为14.5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品______

4、__件．答案：80解析：设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f[x]，则f[x]＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80件时，取最小值．6.用总长为14.8m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5m，则它的最大容积为________．答案：1.8m3解析：设长方体的宽为x，则长为[x＋0.5]，则高为＝3.2－2x，于是容积V＝x[x＋0.5][3.2－2x]＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，求导计算可得最大容积为1.8m3.7.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最

5、高销售限价b[b＞a]以及常数x[0＜x＜1]确定实际销售价格c＝a＋x[b－a]，这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得[c－a]是[b－c]和[b－a]的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．答案：解析：由条件得，[c－a]2＝[b－c][b－a]，∴[c－a]2＝[[b－a]＋[a－c]][b－a]，由c＝a＋x[b－a]，∴b－a＝，∴[c－a]2＝，由题意，c－a≠0，∴1＝·，即x2＋x－1＝0，∴x＝.8.如图，线段EF的长度为1，端点E、F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E

6、、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则lS的最大值为________．答案：解析：设正方形的边长为a[a≥1]，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点G的轨迹是由半径均为的四段圆弧、长度均为a－1的四条线段围成的封闭图形，周长l＝π＋4[a－1]，面积S＝a2－π，所以l－S＝－a2＋4a＋π－4，a≥1，由二次函数知识得当a＝2时，l－S取得最大值.9.渔场中鲜鱼的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨

7、和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k[k>0][空闲率：空闲量与最大养殖量的比值]．[1]写出y关于x的函数关系式，并求其定义域；[2]求鱼群年增长量的最大值；[3]当鱼群的年增长量达到最大时，求k的取值范围．解：[1]y＝kx·＝kx[0≤x0，所以0

8、x[元/千克，1