浅谈怎样培养学生树立“以退为进”的策略意识

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1、浅谈怎样培养学生树立“以退为进”的策略意识台山市华侨屮学李春苑数学教学的FI的，不仅仅是向学生传授知识，更重要的是培养他们的能力，这是数学教学的核心问题。长期以來，人们渴與找到一种魔力无边的方法，它能解决所有问题，然而这仅仅是一厢情愿的幻想，事实上“包治百病的万应灵丹”是不存在的。但这也决非无章可循，无法可依。在数学学习中，我们反复强调狠抓基础知识的掌握和基本技能的训练，这无疑是正确的。但是解决问题并不是基础知识的简单堆砌，也不是基本技能技巧的随意组合，而是沟通条件和结论的成功的严密逻辑推理过程。在教学中，教师不厌其烦地向学生讲授数学基础知识，介绍各种解题方法，课堂

2、上学生似乎也弄懂了，可是一拿到题目，学生往往束手无策，所学的知识总是派不上用场。究其原因是多方面的，而其中重要的原因Z一就是缺乏科学的策略意识。“以退为进”就是必须掌握的一种重要策略。著名数学家华罗庚教授说过：“善于退，足够地退，退到最原始而又不失重要性的地方是学好数学的一个诀窍。”在解数学题中，一时难以入手或感到困惑时，我们不妨先“退”下来，退到容易看清问题的本质，容易发现求解的规律和方法的地方，钻透了，然后再“上”來求解原问题，此即“以退为进”的解题策略。下面以高中数学的几个实例谈谈如何培养学生树立“以退为进”的策略意识。一、由一般退到特殊&例1如图，三棱柱AB

3、C-A,B,C,的体积为V,P、Q分别是侧棱心'、CC'上的点，且AP=CrQ,求四棱锥B-ACQP的体积。分析：此题条件甚少，分别求四棱锥B-ACQP的高、底面积很难，但题目暗示我们：只要满足仲二C'Q,匕》妙就是一个定值，因此将P、0“退”到特殊位置，使AP=CrQ=O,此时四棱锥B-ACQP变为三棱锥B-ACC即三棱锥C—ABC,因三棱锥C-ABC与三棱柱ABC-AfBrCf等底等高，^VB_ACC.=VC>_AIJC=-V.再回到一•般情形，目标明朗了，为此只需证得S梯形ACQP=Sgcc'（证略），便可求得yB-ACQP=^Vo二、由抽象退到具体例2若对于

4、不为零的常数加和任意实数兀，满足几T+加丿=11但，试判1-/W断幷兀丿是否为周期函数。分析：本题函数抽象，一时难以入手，但容易联想到题中等式与rg（兀+仝）=上遲结构类似，故可试将题中两数由抽象“退”到具体，“退”为4l-tgx函数幷¥丿二冬兀，因这函数是周期函数，且周期刀恰为仝的"倍，由此猜测原函数4也是周期函数，口周期为4m.证明:f(x+4m)=f[(x+3m)+m]=1+f(x+3m)l-/(x+3m)IIl+/(x+2〃)1+f[(x+2m)+m]_1-f(x+2m)1一/[(兀+2加)+加]—]1+/(兀+2加)1-/(x+2/h)1-/(x+2m)+

5、1+f(x+2/n)_-1l-/(x+2m)一1-fx+2m)/(x+2m)1+/0Q]一1二于(兀+加)一1二1一/(x)/[(x+m)+m]1+/(x+m)〔十1+/U)1-/WA/（x）是周期为伽的函数。a：本题若不由抽象“退”到具体，从而猜出/⑴的周期，则很难判定它的周期性。三、由综合退到单一例3计算：/11---1-22---2•1I、7"V2〃个"个分析：初看此题，可谓“山穷水尽疑无路”。先取单一的巾值看一看：当n=l时，V11-2=3；当n=2时，71111-22=33；当n=3时，V1111H-222=333；……至此“柳喑花明又一村”。可以推测原

6、式=33…3。〃个事实上，原式=Ih-JxIO11+l_b-J-22--2=

7、ll---lx(10n-1)VVV"个n个丹个33・・・3x33・・・3=33・・・3''s'''Vn个”个"个四、由整体退到局部例I4以四面体各面的重心为顶点得到一个新四面体，求两个四面体的全面积之比。分析：本题从整体上考虑，则难以入手，可从整体“退”到部分加以考虑,即从一面的关系着手研究，可得下列解法。AABD.4ABC的重解：如图，设A八B]、C八巾分别是ABCD.AACD.2分另I」在棱AB.AC.AD上截取AG=-AB.322AE=-AC.AF=-AD,贝lj由平几知识知3八0、

8、D]33分别为EF、FG、GE的中点，恥B]C】D]SAGEF,GEFs'BCD,故=丄,匹里聾，两式S、gef4S沁9相乘得：上込二丄，同理可证其它齐对应面面积ZS^cd9比也为丄，故新四面体与原四面体的全面积之比为丄。99五、由高锥退到低锥例I5证明正/面体内任一点到各个面的距离之和是一定值。……（1）分析：刚接触此题，不知从何入手，将它降维到平面C來探求证明途径：是否有“止〃边形内任一点到各边的距离Ae>之和是一定值。”……（2）再“退”一步，先取最简单的正n边形——正三角形來研究：如图，设正AABC的边长为8,面积为s,0D、0E、〃的长是点0到各边