精编初中数学几何证明--辅助圆专题讲解探究

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1、精编初中数学几何证明•■辅助圆专题讲解探究在几何证明中，困难的并不在于题目，而在于辅助线•在初二学习全等系列的知识点过程中，我们带着学生学习了很多种的辅助线，比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后，我们又遇到了新的问题，如做弦的垂线，连接半径，连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的，但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线？这也是今天要讲的专题-辅助圆.“辅助圆”通常活跃于各校模拟试题，因难度系数人，学生不易接受，所以得分率一直都很低.因其考点新颖，有创新又不失难度，所以在近几年的江苏中考中也开始陆续出现了关于“辅助圆''的辅助线问题.那么下面我就来对“辅助圆”问题说说

2、自己的一些看法.岀现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段戢值、存在唯一点、点的运动等.那下面我就按照如下几点来探允“辅助圆"出现的一般情况.一线段最值线段最值分类相对较多，我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.I・折叠中的线段最值1.（成都中考）如图，在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AAMN沿MN所在直线翻折得到连接ACc,则Me长度的最小值是•K分析』AAMN沿MN所在直线翻折过程中，始终都保持着MA=MA即A点的运动轨迹满足于圆的基本概念，则A点的运动轨迹是以M为圆心，MA为半径的一个圆，则ACC的最小值

3、即转化到点C到。M的上的最小值问题，这时就可以得到MC最小值是CM—半径,求JI1CM的长即可，如下图.1.(无锡惠山区二模)如图，在RtAABC中，ZB=60°,BC二3,D为BC边上的三等分点,BD二2CD,E为AB边上一动点，将ADBE沿DE折叠至仏。讯E的位置，连接ABJ则线段ABC的最小值为.K分析2ADBE沿DE折叠过程中，与上题一样，始终满足于DB二D別，与1相似，即作出辅助圆0D,以D为圆心，DB为半径的圆.A为圆外一点，求AB，的最小值即用AD—半II・圆轨迹中的线段最值2.(无锡惠山区一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以A(4,3)为圆心，1为半径作圆.P

4、点为圆上一动点，连结OP.点B为OP的中点，点C坐标为(2,0),求BC的取值范围・4P>L_□A■—AA\C-3-2-1011221K分析』点P的运动轨迹是圆，B为OP屮点，随着P的运动而运动，则根据“瓜豆原理”，B的运动轨迹也是一个圆.我们需要确定的是B所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题.为确定圆心，则连接OA,取OA屮点Q.连接BQ,BQ=1AP=1的运动轨迹是以Q221为圆心，一为半径的圆.再求出CB的最大和最小值二CQ士半径即可.（如下图）21.（无锡外国语中学一模）如图，点0在线段AB上，OA=1,0B=3,以0为圆心，OA长为半径作圆O.点M在圆O上运动，连接MB

5、,以MB为腰作等腰RtAMBC,使ZMBO90。，M.B.C三点为逆时针顺序，连接AC,贝9AC长的取值范围是K分析》点M的运动轨迹是圆，点C是由BM旋转90。得出，贝振据“瓜豆原理”初步确定点C的运动轨迹也是一个圆.我们需要确定的是B所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题.为确定圆心，连接OM,将OM也绕着点B旋转90。，确定0収连接OCC.易证aBOM^ABCXC,得出OM=O^C=,则可得岀点C的运动轨迹是以①为圆心，1为半径的圆•再求出AC的最大和最小值=AO^±半径即可.（如下图）/、c✓/OfyOB皿・直角三角形中的辅助圆1.（江阴校级一模）如图，在等腰直角三角形ABC

6、中，ZABC=90。，AB=BC=2,P是AABC所在平面内一点，且满足PA丄PB,则PC的取值范围为K分析》因为ZAPB二90。，由90。所对的眩是直径得出，构造OO.以AB中点O为圆心,1为半径作圆，则P是在OO上运动，确定CP的最小值为OC—半径即可.（如下图）1.（无锡天一中学二模）如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是可.（如下图）IV.定弦、定角中的辅助圆7.（无锡滨湖区期屮考试）如图，在正方形ABCD,AB=2K分析U因为AE=DF,易得△ABE9ZDC

7、F、AAGD^ACGD,则ZABE=ZGAD=ZDCF.因为ZGAD+ZBAH=90°,所以ZBAH+ZABE=90°,所以ZAHB=90°.则点H是在以AB为直径的圆上运动.确定DH的最小值为OD—半径即,若点P满足PD=2,且ZBPD=90°,请求出AP的长.K分析U因为ZBAD=ZBPD=90°,则可认为B、A、P、D四点是在以BD为直径的圆上，设BD的屮点为O,则如图，共圆.得到ZBDA=ZAPB=45°,得出ZDPE=45°,则在Rl△PED中，得出DE二P