精编初中数学半角旋转模型专题讲解训练

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1、精编初中数学半角旋转模型专题讲解训练半角模型定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。©=丄0口&+7=180。.条件：2思路：（1）、延长其中一个补角的线段AF）E（延长CD到E,使ED二,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连结论：①MN=BM+DN②=2A"、AN分别平分ZBMN

2、和ZDNM（2）对称（翻折）AD思路:分别将"BM和△4DN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.(ZB+18d，JEAB=AD)例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN,求证：①・4WV=45‘乩D②.C'cmn=2AB③AM.AN分别平分NBMN和NDNM.思路同上略.例1拓展：在正方形ABCD中，C知/WAN二45。，若m、N分别在边CB、DC的延长线上移动，①•试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.②•求证：AB=AH.提小•如图:例2•在四边形ABCZ）中，/B+ND=1M,AB=A

3、D,若E、F分别在边ZEAF=丄ABAD.BC、CD上，且满足EF=BE+DF求证：2求证：EF二BE+DF.练习巩固：如图，在四边形ABCD中，/B=ND=90,43=A£),若E、ZEAF=-ZBAD.F分别在边BC、CD上的点，且2半角例题：如图,将△(?〃“绕点C顺时针旋转90°,得ACW,连结,贝UQ=BN=nfCD=CN.厶CD=ZBCN.•••ZMCD=ZACM+"CD=ZACM+ZBCN=90°-45°=45°=ZiMCV.••△A4ZK?丝4WVCf•・・MD=MV=x又易得ZmW=45°+45°=90°,二在RtA4A4D中f有+n2=x*,故应选

4、(B)练习：1、如图，正方形肋CD的边长为1,.4B、AD上各存一点P、Q,若2P0的周长为2,求ZPC0的度数•2、氏F分别是正方形的边竝CD上的点•且ZEAF=45°•AHJEF.H为垂足，求证:All=AB•3.如图所示•在等腰直角的斜边.48上取两点M.N.使^MCN=45°,记4灯=加＞MN^x,BN=n,求证：以5加.“为边长的三角形的形状是直角三角形.4、已知:如图1在RtA购C中rZA4C=90°fAB^AC.点D、E分别为线段BC上两动点,若Z£UE=45。•探究线段妣）、DE.EC三条线段之间的数屋关系.4、明的思路是:把AAEC^A顺时针旋转9

5、0°,得到"砧，连结£7）,使问题得到解决•请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想8D、DE、EC三条线段之间存在的数盘:关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点£在线段比上，动点D运动在线段C3延长线上时，如图2,其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明•图1图2二、角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法例1：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC.CD边上的点，ZEAF=45°,求证:EF二BE+DF.C变式1：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BCCD±的点，若ZkECF的周长是2,求ZEAF的度数?变式2：如

6、图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=45°,AG丄EF,求证：AG=AB.例2：AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,M,N为斜边AB上两点，如果ZMCN=45°.求证:AM2+BN2=MN2变式3：AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,M,N为斜边AB上两点,满足AM2+BN2=MN2.求ZMCN的度数.变式4：如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰宜角三角形AABC和ZkAFG摆放在一起，A为公共顶点，ZBAC=ZAGF=90。,它们的斜边长为2,若AABC固定不动，AAFG绕点A旋转，AF,AG与边BC的交点分别为D、E

7、(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设BE=m,CD=n.(1)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；(2)以AABC的斜边BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2)。在边BC±找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2;(3)在旋转过程中，(2)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。综合：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN,求证：①.4MN=45°②.C△钟③am、AN分别平分