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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理互动课堂学案新人教A版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、圆周角定理互动课堂重难突破一、圆周角定理圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半•应当注意的是，圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数塑关系.在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的，当角的一边过圆心时，得到圆周角与同弧上的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时，圆周角与同弧上的圆心角之间的关系，在角的一边不经过圆心时，又有两种情况，一是圆心在圆周角内，二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨
2、论，最后得到不论角的一边是否经过圆心，都有定理小的结论成立•在儿何里，许多定理的证明，都需要像这样分情况进行，后面还会遇到这种分情况证明的定理.另外,通过这个定理的分析、证明，我们可以看到,在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手,因为特殊情况下问题往往容易解决，如图2-1-1中，中间一种情况为圆周角的一边经过圆心，此时Z/防=2ZC很容易证明.特殊情况下的问题解决Z后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题，如图2-1-1左图和右图的情况，通过辅助线，把它们变成中间那样的两个角的和或差，这样利
3、用特殊情况下的结论,便可使般情况下的结论得证.定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对•弧的度数的一半.图2-1-1二、圆周角定理的两个推论推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆屮，相等的圆周角所对的弧也相等.MB=Z6：图2-1-2推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-3,ZACB=ZADB二ZAEB=90°,畀〃是直径.图2-1-3圆周角定理及其推论是进一步推导圆其他重要性质的理论根据，而且对于角的计算，推证
4、角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平血几何中常见问题提供了十分简便的方法，学习中要注意体会.三、刨根问底问题1在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系，在解决问题当屮有什么作用？实践中如何加以应用？探究:在圆中，只要有弧，就存在着弧所对的圆周角.同弧对的圆周角相等,而相等的角为几何命题的推论提供了条件•但是在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时，往往缺少用这个知识点的意识或困难，应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角，如图2-1-4中，己知八E,那么在八E所对的圆周上任取一点都可得到
5、相等的圆周角zc=zd=ZE也可以由角找弧，再由弧找角，如图2-1-5中，初平分ZBAC,得Z2Z2,Z1对“匚,Z2对C]J,Z3也对CD、故Z1=Z2=Z3,如果要证△〃应's△刃〃，无疑两个相等的角为此提供了条件.图2-1-5问题2在圆屮，直径所对的圆周角等于90°,解决问题时，应怎样利用这一条件？探究:只要在已知中给出了直径这一条件，一是要想到它和半径的关系，还要想到封闭了它所对的圆周角，便得到了直角三角形，这样有关直角三角形的性质便可应用了•如图2-1-6,以Q?为直径的＜30交的两边于B、E
6、、连结BE.求证:A氐osh二仙.此题必须先证所在AABD为直角三角形，此吋连结BD,可由直径所对的圆周角为90°,创设了所需的条件.又如图2-1-7,在O0中，直径AB1CD,弦AEX.CR要证殆△物在知ZA=ZCf/lB=Mf缺少一个条件，\AB.CD为直径，想到连结处⑦便可知Z£=ZF=90°,这就为证三角形全等提供了条件.活学巧用【例1】如图2-1-8,已知＜30中，ZA0B=2ZB0C.求证:ZACB=2ZBAC.图2-1-8思路解析：圆周角Z如彷与圆心角ZW矽对同一条弧，所以=-ZAOB
7、,同理，ABAC2二丄"0C,再利用已知条件可得结论.2证明：ZACB=-ZAOB,ZAOB=2乙BgZACB二上BOC,ABAC二丄乙BOCZACB=2乙BAC.22【例2】如图2-1-9,已知圆心角Z座矽的度数为100。，则圆周角Z/仍的度数为…（）图2-1-9A.80°B.100°C.120°D.130°Z-、思路解析:要求乙ACB,只需求ASlB所対的圆心角，然后利用同弧所対的圆周角等于圆心角的一半即可求解.解:9：AAOB=100°,・・・人'山所对的圆心角为260°,Z.ACB=130°.故
8、选D.【例3］如图2-1-10,以仙为直径的半圆上任取两点於和C过点"作丄也交化延长线于E；交比于F.求证MV是W和松的比例中项.图2-1-10思路解析:题目即证诫二NF・NE,连结AM.BM,从而构造出但沏V、NE、W共线,无法由相似三角形直接证得，因此要考虑用等积式或等比式过渡•注意到沏V丄也・••曲?二创・BN,下面只需证创・BN二NE・NF,这可以由△屁沖与△处V相似证得.证明：连结AM.BMy・・•肋为直径，AZAJ/B=90°.
