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《九年级数学奥数知识点专题精讲---和圆有关的比例线段》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、知识点、重点、难点在圆屮，有相交眩定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幕定理。1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的枳相等。推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。2沏割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幕定理；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其
2、一般思路为等积式一比例式一中间比一相似三角形。圆幕定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。例题精讲例I：如图，已知©q与eq相交于A、B两点、,过点A作。q的切线，交OQ于点C，过点B作两圆的割线分别交G)q、①^于点厂、E,DE与AC相交于点P.当AD与OQ相切，且PA=6,PC=2,PD=12时，求AD的长。解连结因为CA切©0,；于点A,所以Z1=ZD.又Z1=ZE,所以ZD二ZE.又Z2=Z3,Pjpd所以△APDs、CPE,所以——=——，PCPE即PA・PE=PC・PD.因为PA二6,PC=
3、2,PD=2,u得6XPE=2X12,得PE=4.由相交弦定理得PE・PB=PA・PC,所以4PB=6X2,得PB=3.所以BD=PD—PB=9,DE=DP+PE=12+4=16.因为DA切OO?于点A，所以DA2二DB•DE,即AD2=9X16,得AD=i2.例2：如图，己知圆内接四边形ABCD,延长AB、DC交于E,延长4Q、BC交于F,EM.FN为圆的切线，分别以E和F为圆心、EM和F7V为半径作弧，两弧交于K,求证：EK1FK.证明连结EF,过3、C、E三点作圆交EF于连结CH.因为B、C、H、E共圆，所以Z1=Z2.因为A、B、C、£＞共圆，所以
4、Z1=Z3,于是Z2=Z3,故D、C、H、F共圆.由切割线定理得EM1=EC•ED=EH・EF,FN2=FC・FB=FH•FE,所以EM2+FN2=(EH+FH)・EF=EF2.又因为EM二EK,FN=FK,所以EK2+FK2=EF2.故△EKF为直角三角形，且ZEKF二90°,即EK丄FK.例3：如图，00
5、与002相交于卩、Q两点，在公共眩QP延长线上取一点M,过M作两圆割线分别交两圆于A、B、C、D.…ADUBDDM求证：=・ACUCBCM证明由切割线定理得MA•MB=MP•MQMQ=MC•MD,所以4、B、D、C四点共圆，可得ZADB=ZACB.又=
6、㊁ADLBD^inZ.ADB,_ADVBDS^cbacubc.过C作CG丄MB,垂足为G,itDW-DH丄MB,垂足为H.所以CG//DH,得厶MGCsMHD,得弘型二竺■二型（.所以SmcbCGCMADJBDDMACJBC~~CM'例4：如图，两个同心圆的圆心为O,大圆的弦4D交小圆于3、C,大圆的弦AF切小圆于E,经过B、E•的直线交大圆于M、N,求证：(1)AE2=BN■EN；(2)若AD经过圆心O,且AE二EC,求ZAFC的度数。A证明⑴因为AE、ABC分别是小圆的切线和割线，所以AE2=AB・AC①作OH丄AD于H,则AH=DH,BH二CH,所以
7、AB=CD同理得BM=EN.rfl相交弦定理得AB・BD=MB・BN.所以AB・AC=EN・BN.②由①②得AE?=EN・BN.（2）连结OE,因为AF是切线，所以OE丄AF于E,所以AE=EF.因为AE=EC=EF,所以易证得ZACF=90°•因为ADit圆心D所以FC是小圆的切线。所以FC=FE=EC,所以ZAFC=60°•例5：从圆外一点P作（DO的切线，切点为0割线与圆交于从C两点’T平分线分别交°C、QB于E、D,求绘+
8、
9、的值。解在AOPC中，由PE平分ZQPC,同理，在中有丝=丝.DBPB于是①x②得QEQD=PQECJDBPBJPC又PQ人圆
10、的切线，PBC为圆的割线，故PQ?二PB・PC.④把④代入③得QE・QD=EC・BD,所以(QC~EC)・(QB—DB)=EC・BD,ECbd即QB•EC+QC•BD=QB•QC,从而——+——=kQCQB例6：如图，已知经过的圆心。2,且与。。2相交于A、B两点,点C为AO2B上的一动点（不动至A、B）,连结AC并延长交。。2于点P，连结BP、BC.（1）先按题意将图156补完整，然后操作、观察。图156供操作观察用，操作时可使用量角器与刻度尺，当点C在刃上运动时，图中有哪些角的大小没有变化；（2）请猜想ABCP的形状，并证明你的猜想（图157供证明用）；
11、（3）如图158,当PA经过点O?时，AB=4,BP
