初三数学与圆有关的比例线段知识精讲 浙江版

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1、初三数学与圆有关的比例线段知识精讲一.本周教学内容：与圆有关的比例线段二、重、难点：重点：正确运用相交弦、切割线等定理难点：灵活运用相交弦与切割线等定理三、知识回顾：1、复习相交弦与切割线等定理2、小结与圆有关的比例线段问题的一般思考方法（1）运用相交弦、切割线定理及它们的推论（若弦与直径垂直，则弦的一半是它分直径所成两部分线段的比例中项以及割线定理）（2）通过圆内三角形的相似证明比例线段例1、如图，⊙O的直径AB和弦CD垂直，F在CD的延长线上，连结AF交⊙O于E，求证：解析：可由“三点定形”来构造相似形证明。连结CE，BE。∵A

2、B⊥CD∴∠F与∠FAB互余AB为⊙O的直径∴∠B于∠FAB互余∴∠F＝∠B＝∠ACE又∠F＝∠ACE，∠FAC＝∠CAE∴ΔFAC∽ΔCAE∴∴AC＝AE·AF例2、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为⊙O的割线，若PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于D、E求AD·AE的值解析：由切割线定理PA＝PB·PC，由已知条件可得BC长，又通过ΔACE∽ΔADB得AD·AE＝CA·BA从而求CA，BA的长即可连CE，∵PA＝PB·PCPA＝10，PB＝5∴PC＝20∴BC＝15又PA切⊙O，∴∠PAB＝∠ACP

3、，∠P公共，∴ΔPAB∽ΔPCA∴∵BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90º∴AC＝225∴可解得AC＝6，AB＝3但AE平分∠BAC∴∠CAE＝∠EAB，∠ABC＝∠E∴ΔACE∽ΔADB∴∴AD·AE＝AB·AC＝36＝90例3、如图，PA切⊙O于A，PCB，PDE为⊙O的割线，PDE过圆心O，已知∠BPA＝30º，PA＝2，PC＝1，求PD的长。解析：求PD，可试用割线定理PC·PB＝PD·PE，显然PA切⊙O，∴PA＝PC·PB可求得PB，但PE＝PD+DE，DE为⊙O直径，所以求⊙O的直径成为解题的关键∵PA切⊙O∴PA＝PC·

4、PB，又PB＝PC+BC∴BC＝11连AO，并延长与⊙O交于K，与CB交于G，则GA＝PAtan∠GPA＝PAtan30º＝2又RtΔGPA中，∠GPA＝30º∴PG＝2GA＝4∴CG＝3，GB＝8由相交弦定理：GC·GB＝AG·GK可得GK＝12∴直径为14∴由割线定理：PC·PB＝PD·PE得PD＝－7（答题时间：30分钟）1、⊙O中，弦AB将弦CD分为1：3的两部分，且PA·PB＝9，则CD长为2、点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则（）A.OC＝CA•CBB.OC＝PA•PBC.PC＝PA•PBD.PC＝C

5、A•CB3、⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P，设PA，PB长分别为方程X－12X+24＝0的两根，则⊙O的直径为（）A.8B.6C.4D.24、如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C,D为PC的中点，连AD并延长交⊙0于E，已知BE2＝DE·EA求证：①PA＝PD　　②BP2＝AD·DE5、如图，C为⊙O直径AB的延长线上一点，过C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD和BD，根据图中所给的已知条件（不再标注或使用其它字母，也不再添加任何辅助线）写出两个你认为正确的结论。6、如图，已知PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O

6、于B、C，PD⊥AB于D，PD、AO的延长线相交于E，连CE并延长交⊙O于F，连结AF①求证：△PBD∽△PEC②若AB＝12，tan∠EAF＝,求⊙O的半径。[参考答案]http://www.dearedu.com1、4　　　　　2、D　　　　3、A4、⑴提示：连AB，证明△BED∽△AEB得∠DBE＝∠DAB又可证∠PAD＝∠ADP，∴PA＝PD⑵提示：PA2＝PB·PC且PD＝CD＝PC，PA＝PD∴PD＝2PB＝PB+BD　∴PB＝BD＝PD又BD·CD＝AD·DE，∴可证得结论，且PD＝CD5、可通过勾股定理，直角三角形斜

7、边上的中线定理，切线的性质定理以及弦切角定理，切割线定理来写结论。如：OD＝AB，CD⊥OD，∠CDB＝∠BAD，CD2＝CB·CA或OD2＋CD2＝CO2等6、提示：⑴由切割线定理，得PA2＝PB·PC由△PAD∽△PEA得PA2＝PD·PE，∴PB·PC＝PD·PE又∠BPD公共∴△PBD∽△PEC⑵作OG⊥AB于G，由△PBD∽△PEC可得∠CEP＝∠F，∴PE∥AF又OG⊥AB于G，∴AG＝AB＝6，∴OG∥ED∥FA，∴∠AOG＝∠EAF；Rt△AOG中，tan∠AOG＝又＝∴OG＝9，由勾股定理，AG2+OG2＝AO2，

8、∴AO＝＝3，∴⊙O半径长为3