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时间:2018-12-17
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1、初三数学与圆有关的比例线段知识精讲一.本周教学内容:与圆有关的比例线段二、重、难点:重点:正确运用相交弦、切割线等定理难点:灵活运用相交弦与切割线等定理三、知识回顾:1、复习相交弦与切割线等定理2、小结与圆有关的比例线段问题的一般思考方法(1)运用相交弦、切割线定理及它们的推论(若弦与直径垂直,则弦的一半是它分直径所成两部分线段的比例中项以及割线定理)(2)通过圆内三角形的相似证明比例线段例1、如图,⊙O的直径AB和弦CD垂直,F在CD的延长线上,连结AF交⊙O于E,求证:解析:可由“三点定形”来构造相似形证明。连结CE,BE。∵A
2、B⊥CD∴∠F与∠FAB互余AB为⊙O的直径∴∠B于∠FAB互余∴∠F=∠B=∠ACE又∠F=∠ACE,∠FAC=∠CAE∴ΔFAC∽ΔCAE∴∴AC=AE·AF例2、如图,PA为⊙O的切线,A为切点,PBC为⊙O的割线,若PA=10,PB=5,∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于D、E求AD·AE的值解析:由切割线定理PA=PB·PC,由已知条件可得BC长,又通过ΔACE∽ΔADB得AD·AE=CA·BA从而求CA,BA的长即可连CE,∵PA=PB·PCPA=10,PB=5∴PC=20∴BC=15又PA切⊙O,∴∠PAB=∠ACP
3、,∠P公共,∴ΔPAB∽ΔPCA∴∵BC为⊙O直径,∴∠CAB=90º∴AC=225∴可解得AC=6,AB=3但AE平分∠BAC∴∠CAE=∠EAB,∠ABC=∠E∴ΔACE∽ΔADB∴∴AD·AE=AB·AC=36=90例3、如图,PA切⊙O于A,PCB,PDE为⊙O的割线,PDE过圆心O,已知∠BPA=30º,PA=2,PC=1,求PD的长。解析:求PD,可试用割线定理PC·PB=PD·PE,显然PA切⊙O,∴PA=PC·PB可求得PB,但PE=PD+DE,DE为⊙O直径,所以求⊙O的直径成为解题的关键∵PA切⊙O∴PA=PC·
4、PB,又PB=PC+BC∴BC=11连AO,并延长与⊙O交于K,与CB交于G,则GA=PAtan∠GPA=PAtan30º=2又RtΔGPA中,∠GPA=30º∴PG=2GA=4∴CG=3,GB=8由相交弦定理:GC·GB=AG·GK可得GK=12∴直径为14∴由割线定理:PC·PB=PD·PE得PD=-7(答题时间:30分钟)1、⊙O中,弦AB将弦CD分为1:3的两部分,且PA·PB=9,则CD长为2、点C在⊙O的弦AB上,P为⊙O上一点,且OC⊥CP,则()A.OC=CA•CBB.OC=PA•PBC.PC=PA•PBD.PC=C
5、A•CB3、⊙O的弦AB平分半径OC,交OC于P,设PA,PB长分别为方程X-12X+24=0的两根,则⊙O的直径为()A.8B.6C.4D.24、如图,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C,D为PC的中点,连AD并延长交⊙0于E,已知BE2=DE·EA求证:①PA=PD ②BP2=AD·DE5、如图,C为⊙O直径AB的延长线上一点,过C作⊙O的切线CD,D为切点,连结AD、OD和BD,根据图中所给的已知条件(不再标注或使用其它字母,也不再添加任何辅助线)写出两个你认为正确的结论。6、如图,已知PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O
6、于B、C,PD⊥AB于D,PD、AO的延长线相交于E,连CE并延长交⊙O于F,连结AF①求证:△PBD∽△PEC②若AB=12,tan∠EAF=,求⊙O的半径。[参考答案]http://www.dearedu.com1、4 2、D 3、A4、⑴提示:连AB,证明△BED∽△AEB得∠DBE=∠DAB又可证∠PAD=∠ADP,∴PA=PD⑵提示:PA2=PB·PC且PD=CD=PC,PA=PD∴PD=2PB=PB+BD ∴PB=BD=PD又BD·CD=AD·DE,∴可证得结论,且PD=CD5、可通过勾股定理,直角三角形斜
7、边上的中线定理,切线的性质定理以及弦切角定理,切割线定理来写结论。如:OD=AB,CD⊥OD,∠CDB=∠BAD,CD2=CB·CA或OD2+CD2=CO2等6、提示:⑴由切割线定理,得PA2=PB·PC由△PAD∽△PEA得PA2=PD·PE,∴PB·PC=PD·PE又∠BPD公共∴△PBD∽△PEC⑵作OG⊥AB于G,由△PBD∽△PEC可得∠CEP=∠F,∴PE∥AF又OG⊥AB于G,∴AG=AB=6,∴OG∥ED∥FA,∴∠AOG=∠EAF;Rt△AOG中,tan∠AOG=又=∴OG=9,由勾股定理,AG2+OG2=AO2,
8、∴AO==3,∴⊙O半径长为3
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