数学教案－和圆有关的比例线段

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1、数学教案－和圆有关的比例线段　　教学建议　　1、教材分析　　（1）知识结构　　（2）重点、难点分析　　重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明．　　难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆．　　2、教学建议　　本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2．第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3．　　（1）教师通过教

2、学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；　　（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动．　　第1课时：相交弦定理　　教学目标：　　1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；　　2．学会作两条已知线段的比例中项；　　3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；　　4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．　　教学重点：　　正确理解相交弦定理及其推论．

3、　　教学难点：　　在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．　　教学活动设计　　（一）设置学习情境　　1、图形变换：（利用电脑使ab与cd弦变动）　　①引导学生观察图形，发现规律：∠a＝∠d，∠c＝∠b．　　②进一步得出：△apc∽△dpb．　　．　　③如果将图形做些变换，去掉ac和bd，图中线段pa，pb，pc，po之间的关系会发生变化吗?为什么?　　组织学生观察，并回答．　　2、证明

4、：　　已知：弦ab和cd交于⊙o内一点p．　　求证：pa·pb＝pc·pd．　　（a层学生要训练学生写出已知、求证、证明；b、c层学生在老师引导下完成）　　（证明略）　　（二）定理及推论　　1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．　　结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于点p，那么pa·pb＝pc·pd．　　2、从一般到特殊，发现结论．　　对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，ab是直径，并且ab⊥cd于p．　　提问：根据相交弦定理，能得到什么结

5、论?　　指出：pc2＝pa·pb．　　请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确．教师纠正，并板书．　　推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点c向直径ab作垂线，垂足是p，则pc2＝pa·pb．　　若再连结ac，bc，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：　　pc2＝pa·pb；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab　　（三）应用、反思　　例1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二

6、条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．　　引导学生根据题意列出方程并求出相应的解．　　例2已知：线段a，b．　　求作：线段c，使c2＝ab．　　分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．　　作法：口述作法．　　反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用．同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图．　　练习1如图，ap＝2厘米，pb＝2．5厘米，cp＝1厘米，求cd．　　变式练习：若ap＝2厘米，pb＝2．5厘米，cp

7、，dp的长度皆为整数．那么cd的长度是多少?　　将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣　　练习2如图，cd是⊙o的直径，ab⊥cd，垂足为p，ap＝4厘米，pd＝2厘米．求po的长．　　练习3如图：在⊙o中，p是弦ab上一点　　数学