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《高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量的线性运算课堂导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.1空间向量的线性运算课堂导学三点剖析一、向量求和的三角形法则【例1］已知三棱椎O-ABC中,G为ZiABC的重心，OA=a,OB二b,OC二c,试用a,b,c来表示OG.思路分析:先在AOBC中考虑中线0D,然后在△()"中考虑G为M)的分点，分成的比是2:1,再次使用向量的运算性质即可.解：=a+-・丄(亦+疋)321'■—*■1二a+-(0B-O4+0C-0A)二一(a+b+c)33温馨提ZK(1)把平面内的三角形法则推广到空间也有AB+BC+CD+DE+EF=AF(2)常用的结论：若AD是ZABC的屮线，则有乔二丄(乔+疋)2二、在平行六面体中的向量问题【例2】已知平行六面体A
2、BCD—A,BzC‘D，，点M是棱AA'的屮点，点G在对角线A'C上且CG:GA'二2：1,设CD二a,CB二b,CC，=c,试用a,b,c表示向量CA,CAZ,CM、CG.思路分析:要想用a,b,c表示出所给向量，只需结合图形,充分运用空间向量加法和运算律得到.解:如下图所示(1)CA=CB+CD=a+b.⑵CAz=CA+CCz=a+b+c.⑶CM=CA+AM=CB+CD+-疋二a+b+丄c.12―-2—►?⑷CG=—CAf=—(a+b+c).23温馨提示在平行六面体内，经常会用到平行四边形法则，另外，“三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量”这一结论也经
3、常使用.三、利用向量解决其他问题【例3]证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心的距离的三倍.思路分析:要证四血体的顶点与对血重心连线共点，且到顶点的距离是它到对血重心的距离的三位，只须在这4条直线AG.,BG,,CG3,DGi上分别収满足条件的4点Ih,血血叽然后证明Hi,H2,IL,Hi四点重合即可.证明：设G),G2,G3,G4分别是四面体D—ABC中四个面的重心(如下图),取四点出、比、出、H4,满足33AH.二二AG,:BH.=-BG.；141-4’•3•■3‘•CH.=-CG3:DH4=-DG4；则H2H2二HA+AB+BH?3■3k=——
4、AG.+AB+-BG.41431■‘•■■31■■■二一二[-(AB+AC+4D)]+AB+Y[-(BA+BC+BD)]4343=0所以，已与氏重合.同理可证，山与限H]与乩重合，故H】、出、出、乩是同一点,且此点到某顶点的距离是它到对而重心距离的三倍.温馨提示要证明A,B两点共点，只需证明AB=Q即可;或者引入第三个点C,证明CA=CB，也可说明点A,B共点.各个击破类题演练1在正方体ABCD-ABCD屮，下列各式屮运算的结果为向量AC】的共有()①(AB+AC)+CC]②(AA}+AQ)+£>
5、G③(AB+BB])+B]G④(AA}+A
6、B
7、)+B
8、C
9、A.1个B.2个C.3个D.4个答案
10、:D变式提升1已知空间四边形ABCD（如下图），连结AC、BD,设M、G分别是BC、CD的中点,则AB+-2(BD十BC)等于()A.AGB.CGd.Ibc2答案：A类题演练2己知正方体ABCD—A'BzCrDz屮心，求下列各题屮x、y的值：（如右图），点E,F分别是上底面"C'和侧面CD'的⑴疋二x（乔+荒+疋）⑵AE=+xAB+yAD;⑶乔二AO+xAB+yA?.解析：(1)AB+BC+CC7,x=l.(2)AE=A4>+A7E=ZT+丄忑+丄而22・：x=y=—.2⑶乔二AD^DF=AD+丄乔+丄ZT,12•Ix=y=—.2变式提升2已知平行六面体OABC一O'A7B'C'，且OAOA二
11、a,OB=b,OO'=c,用a,b,c表示如下向量：(1)OB,~BA(2)OG(G为侧面BC‘的对角线交点).解析：对(1)主要用平行四边形法则，结合图形容易得出OB二a+b,BAf=c-b.对(2)主要运用三角形法则的推广形式.OG=OC+CG=OC+丄(疋+而)2=b+—(c+a)=—a+b+—c.222类题演练3设互不共线的向量a,b,c满足a+b+c二0,证明顺次将它们的始点和终点相连结构成一个三角形.证明：作AB=a,BC=b,CD=c,则AD=AB+BC+CD=a+b+c=0,所以A、D重合，即a,b,c可以构成三角形.变式提升3I•I.I•I•若G是AABC的重心,0为空间任
12、意一点,求证：OG二一(0A+03+0C).3证明：因为G是AABC的重心，所以AG=2GD(D是BC的中点).OG-OA+AG21—二一AD+OA32——-—-二一{OD-OA)+OA321°二一[―(OB+OC)-OA]+OA123
