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1、浅谈多元函数的极值问题扌商要：最优化问题是近代应用数学的一个新的分支，是一门应用相当广泛的学科，多元函数极值问题是一种简单的最优化问题，一般说来多元函数的极值问题分为无约束极值和有约束极值两大类。关键词：无约束极值、条件极值、汉森〈Hessicm)矩阵。引言：极值问题分为两类：无约束极值问题和条件极值问题，无约束极值问题又称为无条件极值问题。例如求函数/(s)=/+5y2_6x+iOy+6的极值，就属于无条件极值的问题。但在实际中我们常会遇到这样的问题，如要设计一个容量为V的开口长方体水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，用
2、的材料最少？为此设水箱的长、宽、高分别为X、y、Z,则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求(兀〉0,y〉0,z>0),而且还必须满足条件xyz=V这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题(不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题)无约束极值与条件极值的关系一些简单的条件极值可以转化成无条件极值，如引言中的条件=将z用V、x、y表示出来即"工，并将其代入表面积公式zrtvv得S(x,y,z)=2(—+—)+xy浅谈多元函数的极值问题扌商要：最优化问题是近代应用
3、数学的一个新的分支，是一门应用相当广泛的学科，多元函数极值问题是一种简单的最优化问题，一般说来多元函数的极值问题分为无约束极值和有约束极值两大类。关键词：无约束极值、条件极值、汉森〈Hessicm)矩阵。引言：极值问题分为两类：无约束极值问题和条件极值问题，无约束极值问题又称为无条件极值问题。例如求函数/(s)=/+5y2_6x+iOy+6的极值，就属于无条件极值的问题。但在实际中我们常会遇到这样的问题，如要设计一个容量为V的开口长方体水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，用的材料最少？为此设水箱的长、宽、高分别为X、y、Z
4、,则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求(兀〉0,y〉0,z>0),而且还必须满足条件xyz=V这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题(不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题)无约束极值与条件极值的关系一些简单的条件极值可以转化成无条件极值，如引言中的条件=将z用V、x、y表示出来即"工，并将其代入表面积公式zrtvv得S(x,y,z)=2(—+—)+xyyx这样就把条件极值转化成了条件极值了，一些条件极值带有多个条件，按上面方法进行可得到一个多元函数方
5、程组，将其转化成无条件极值，我们可以通过解方程组得到解答，但有一些方程组我们不容易解出，甚至解不出来，这就要利用下面将要的拉格朗H乘数法。无约束极值定义：设n元函数u二f(X)定义在开集Qu/T上，如果存在的某邻域U(XO,QuO,恒有f(X)f(X0),则称点X。为f的极小值点。极人值、极小值统称为极值。函数取得极值的点称为极值点。定理1(极值点的必要条件)如果n元函数u二f(X)在U(X°,5)有定义，在X。处取极值，且f在X。存在偏导数，则/；(Xo)=0(i=Ln)证明
6、：若u=f(%!,x2,...,兀)在X。取极值，贝lj只随易(i二1,…，n)而变的函数f(岸，…，£,・・・，£))在点€有极值，于是由一元函数极值的必要条件,可知有更肾二0(i二1,…，n)dxi1与一元函数类似,我们把u二f(西，x2,…，兀“)的-阶偏导数全为0的点称为f的驻点(稳定点)，定理1告诉我们多元函数的极值点必须在驻点处取得，但驻点并不一定能取得极值，有些函数在偏导数不存在处也可能取得极值。下面引入汉森(Hfssian)矩阵设兀=（%兀2,…,E），则兀x）为n维空间中的n元函数，同一元函数类似，可得n元函
7、数极值的相应定理。定理2设n元函数/⑴在点兀。的偏导数存在，且是/⑴的极值点，贝U必有V/（xo）=O其中巧（x）为函数于⑴在点兀处的梯度，即w⑴二（字，Z,・‘ex,ox23f}玄°定义称满足V/（x）=O的点为函数/⑴的驻点，即方程组dx{df=0,=0,的解为/（兀）的驻点。为建立多元函数极值的充分条件，我们假设/（兀）具有二阶连续偏导数并且引入下列矩阵'a2/丹a2/~,...1SXj2dxfix2dxfixnd2f刊dx2dx}dxl去2甌Hf（x）二•*；；J，'行d2f■II■■■■dxndxxdxndx2dr；
8、称为/⑴的汉森（Hessian）矩阵，由于具有二阶连续偏导数，故巧⑴为对称矩阵。定理3（多元函数极值的充分条件）设n元函数/⑴在其定义域内具有二阶连续偏导数，且兀0为/（X）的驻点,Hf（x0）为于⑴在点兀。处的汉森矩阵，则（1）若H/（x（））是正疋的，则/'（兀（））为于
