高二数学人教A必修5学案：第一章数列含解析

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1、HIEFIRST第一章解三角形i正弦定理的一个推论及应用在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△/BC中，若sirU>sinB,则力与3的大小关系怎样？那么儿乎所有的同学都会认为力与E的大小关系不确定.若再问：在SBC屮，若4>B,则sin/f与sinB的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定.鉴于此，下面我们讲讲这个问题.1.结论例1在中，sA>sB^A>B.分析题中条件简单，不易入手.但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？证明因为siiL4>sin^Q2RsirL4>2Rsin^（其中R为/XABC外接圆的半径

2、），根据正弦定理变式a=2RsinAfb=2RsiM（其中a,b分别为B的对边），可得sirL4>sinZ?再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，可得a>boA>B.所以sirL4>sinEO/>B.2.结论的应用例2在厶ABC中，力=45。，a=4,b=2y[i,求B.分析在遇到这样的问题时，有的同学一看，这不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定理得3=30。或3=150。.其实这是错误的！错在哪儿？我们只需由上述结论即可发现.解由正弦定理得空普竺=澤，sin5=

3、,又sin^

4、定要根据问题的具体情况，恰当地选用定理.同时，使用正弦定理求角时，要特别小心，不要出现漏解或增解的情况.例3在ZX/BC中，已知B=30。，b=3,c=3羽,求4分析同学们在求解这个问题的时候，在用正弦定理求角C时不要丢解.解由正弦定理及已知条件，得.csinBy[3sinC—匕—29因为sinQsinB,所以QB,所以C有两解.(1)当C=60°时，有71=90°；(2)当C=120°时，有力=30。.点评除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.重点深化42三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题.解答此类问题，一般需先运用正

5、、余眩定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转亿一般有两个通道，即化角为边或化边为角.下面例析这两个通道的应用.1.通过角之间的关系定“形”例1在中，已知2sin4cos3=sinC,那么△4BC—定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形分析通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状.解析方法一利用正弦定理和余弦定理a2+c2—Z?2M2w=c,2sirk4cos5=sinC可化为即a2+c2-b2=c29即a2~b2=0,即a2=b2f故a=b

6、.所以△/BC是等腰三角形.故选B.方法二因为在中，A+B+C=nf即C=ti—(A+B),所以sinC=sin(/+B)・由2sirt4cosB=sinC,得2sin4cos5=sirL4cosB+cosAsin^,即sinJcosB—cos/sin3=0,即sin(A~B)=0.又因为一Tt

7、形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形分析先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状.解析在△M3C中，由正弦定理，可得即a2—b2+ac—bc=O1(a—b)(a+/?+c)=0.因为a+b+cHO,所以a—b=O,即a=b,所以是等腰三角形.故选C.答案C点评本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现.3细说三角形中解的个数解三角形时，处理“己知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数,这是一个比较棘手的问题.下面对这一问题进行深入探讨.1.岀现问题的根源我们作图来直观地观察一

8、下.不妨设已知△/BC的两边°,方和角力，作图步骤如下：①先做出已知角力，把未知边c画为水平的，角力的另一条边为已知边b；②以b边的不是/点的另外一个端点为圆心，边0为半径作圆C；③观察圆C与边C交点的个数，便可得此三角形解的个数.显然，当/为锐角时，有如图所示的四种情况：Haba^b一解无解根据上面的分析可知，由于G,b长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解.若力为锐角，只有当a不小于bsim4

9、时才有解，随着a的增大得到的解的个数也是不相同的.当/为钝角时，只有当a大于方时才有解.1.解决问题的策略⑴正弦定理法己知△/3C的两边