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1、求抛物线解析式的方「法举例【专题综述】.求抛物线的解析式是第二十七章的一个重点和难点，也是屮考的一个热点.现以一道屮考题为例介绍求抛物线解析式的方法，供你学习时参考.抛物线的解析式有以下三种常见的形式：一般式：y=b,c为常数，且GHO),其特点是：等式右边是二次三项式的一般形式.顶点式：y=q(x-/z)2+P(q,h,k为常数,且a^0),其特点是：(h,R)是抛物线的顶点坐标.交点式：y=a(x-X])(兀一花)(V，尤1，兀2为常数，且。工0),其特点是■:等式右边的常数“X],七是抛物线与兀
2、轴的两个交点的横坐标，.即两个交点坐标是(旺，0)和(花，0).【方法解读】0)两点，与y轴交于点C(O,3).例如图1,已知抛物线与兀轴交于A(T,0)、B(3,(1)求抛物线的解析式；分析一：因为已知抛物线的三点坐标，故可选用一般式来求其解析式.解法一：(1)设其解析式为y=ax1+bx+c,由题意，得a-h+c=0,<9。+3b+c=0,c=3.a=—19解得也二2,故此抛物线的解析式为y=-/+2兀+3.c=3.点评：用待定系数法求a,b,c需三个独立条件，若己知图象经过的三点的坐标或三对兀，
3、y的对应值，则可选用一般式来求其解析式，即建立关于q,b,c的三元一次方程组，求出a,b,.c的值后再回代即可.这种方法是求抛物线解析式最基本的方法，务必熟练•掌握.分析二：•因为抛物线与y轴交于点C(0,3),即当兀二0吋…)=3.故可直接设抛「物线的解析式为歹=久*+加+3,然后根据它过人(-1,0).3(3…0)两点建立方程组求出d,b即可.ci—b+3=(XIci——1<解法二设抛物线的解析式为—Z则由题意，得仁如3“解得.故抛物线的解析式为歹=-x2+2x+3.点评：当抛物线与y轴的交点坐标
4、已知时，马上就可得出解析式y=ax2^bx+c中c的值，从而只需根据问题所给的另外两个条件求出a,b的值再回代即可.-1+3分析三：由已知条件易求得抛物线的对称轴是直线x=—^=1,故抛物线的顶点的横坐标是1,因此可2设抛物线的顶点坐标是(1,k),从而可选用顶点式y=a(x-li)2+k来求其解析式.-1+3解法三：由抛物线经过点A(-l,0)、5(3,0),可知其对称轴是直线兀==1,由此可知抛物线顶点2的横坐标是1,故可设其解析式为y=a{x-V)2+k,则由题意，得0=d(_l_l)2+R,3
5、=d(0—1尸.a=-[解得｛'•故其解析式是y=—(x—1尸+4,即y二―F+2兀+3.k=4.点评：当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式y=a(x-h)2-^k^：求其解析式，此时只需根据另外的条件求出a,kf然后回代，并把它化为一般式即可.此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件屮，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式.分析四：因为4(-1,0)、B(3,0)两点是抛物线与x轴的两个交点「的坐标，故可选用交点式来求其解析式.解法四：因为抛物线交兀轴于A(-l
6、,0・)、肌3,0)两点，故.可设其解析式为)，=。(兀+1)(x-3).又因为它交y轴于点C(0,3),故3=a(0+1)(0-3),解得a=~1.故所求解析式是y=-(兀+1)(兀-3),即y=—兀2+2兀+3・点评：当抛物线与兀轴的两个交点或交点的横坐标己知时，常常选用交点式来求其解析式，此时只需代入「第三个条件即可求出Q的值，再回代，最后化为一般式即可.变式：如图2,已知四边形ABCD是矩形，且MO二MD二4,MC=3.(1)求直线3M的解析式；(1)求过A、M.3三点的抛物线的解析式.参考答
7、案:解：(1)因为MO=MD=4,MC=3,故M.A.B的坐「标分别为(0,4),(-4,0),(3,0),设直线的解析式为y=kx+b,J4=kxO+b,〔0=kx3+b.z4k=—43故BM的解析式为y=——x+4.b=4.・0=1&z-4b+c(1)解法一：设抛物线的解析式为y=a^+bx+c,贝U0=9a+3b+c,解得4=ca=b=,c=4,Siy=x(2016山东省滨州市)在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转-—x+4.333解法二：设抛物线的解.析式为y
8、=6/(x+4)(x-3),将M(0,4)的坐标代入解得。二-£，故所求解析式为■丿1191y=__(x+4)(x-3),即=__x2--x+4.333【强化训练】1.(2016ill东省临沂市)二次函数y=ax2+bx+c,自变量兀与函数y的对应值如表:X•••-5■4-3-2-10•••y•••40-2-204•••下列说法正确的是()A.抛物线的开口向下B.当x>-3时，y随兀的增大而增大C.二次函数的最小值是-2D.抛物线的对称轴是%=--218
