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1、5.1非简并定态微扰理论一.定态薛定铐方程设体系的哈密顿算符刁不显含时间，而且可以写成H=+的本征值码°)和本征函数$7是已知的或者很容易求解，和产⑼相比很小，可以看成是微扰。H=H(0)+Hf(5.1.1)片陀o)=(5.1.2)设方本征值是E”和本征函数几，则冃咕Em(5.1.3)令0=201),(5.1.4)其中2是一个很小的实参量。所以En+几Ef+…(5.1.5)(5.1.6)式中&°),肖界分别为体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数；久EJ,久分别为能量和波函数的一级修正，依此类推。将(5.1.1),(5.1
2、.4)・(5.1.6)代入(5.1.3)中,得(H(0)+仍⑴)(防+伽J+和y+・・・)=(曙)+倒)+咤)+・・・)宓。)+岸+几昵2)+…)1:(片⑼_=—(H⑴_E*、/；：))(5.1.9)才：(00)一捋))0丫)=_(//⑴—础)»,：)+E$尢0)(5.1.10)引入2的目的已经达到，略去2,将〃⑴理解为0,Ej,©J分别理解为能量和波函数的一级修正。先讨论非简并情况。片⑼的本征值&°)所属的本征函数只有一个，它就是体系的零级近似波函(5.1.7)兄的同次幕系数相等，得2°：(W(o)-^o))^o)=0(5.1.6)数。设疗）已
3、经归一化。为求码）,以此3左乘，并积分，得W严（肿-即）沁）血=刖”怜沖一”严0汎。）血上式左边fM严(冰)-即必S=f(H*-=0所以，能量的一级修正为刖訂此。）怕比°皿=帀（5・1•⑵为求沁），将必）按恥）的本征函数必°）展开，屮丁=工4恸：°）（5.1.13）/我们总可以选择a,使得上面展开式中不含0丫）项，必）=工W°）（5.1.14）I上式求和号中右上角加一撇是表示求和求和时不包括/=料项,将（5.1.14）代入（5.1.9）式中，得肿工呼切。）一硏工硏沙）=II即丫⑹-硏2＞陀°）=E恂丁一叱）I/以沁）如砒左乘上式两边，再积分,得弓
4、国％吃”“-E筈匕⑴几=-[^H'^dr（5.1.15）”丁冃=H爲（5.1.16）式中丹爲称为微扰矩阵元。所以（5.1.15）简化为(5.1.17)（母。）一或憾）比爲,因此有E(®—0o)将(9-16)代入(9-13),得必戶氏（5.1.18）上式求和号中右上角加一撇是表示求和求和时不包括加项,再求能量二级修正。把（5.1.14）代入（5.1.10）,并用M严左乘（5.1.10）式两边，再积分，得”严（肿-琦翊）必=吐工匕（忱-工⑺）盅+即II上式左边为0•右边第一项由于/H,也为0•则胡=弓匕⑴比广弓l（o）_可。）所以体系的能级和波函数为
5、E,严E$）+H爲+y归爲(5.1.19)nnm24-...E(o)_00)(5.1.20)必"+工'e（°）二⑹必"*…(5.1.21)微扰理论的适用条件是:£•（0）—0。）«1,(&工昭)(5.1.22)例9・1•在0°）的表象中体系的能量算符H=0°）+卬,其中E.(0)0oa10E<0)A0w(0)=,A«即）<砂）・用微扰理论求能量本征值,精确到二级修正。解：Q可视为微扰。E?）=H；=0,砂）=丹；2=0・能量一级修正均为零。d⑵-£(0)_£(0)-00)_00)A2r—f（o）_尸（0）—Ro）_沁）所以，准确到二级修正的能量
6、为E'~£'（0）+E（o）t£（o）例9・2—电荷量为q的线性谐振子受到恒定弱电场£的作用，电场沿x轴方向，用微扰法求体系的能级和波函数。解：体系的哈密顿算符为A.H=-h2d22mdx2-qsx在弱电场情况下，最后一项可看做微扰。2mdx-2Hf=-qsx能量的一级修正为=^H'^dr=H'=-N；q£fxH；(ar”"'dxJ—00所以琦=0H；m=V：(x>代入能量二级修正尸⑵=y/H'nnr(°)_r(°)2^1ha2s21n+1n+1n1hcohco_tl汽2
7、~2mcoL92_q・£Imco2波函数的一级修正-q£Jn+H爲
8、(O)
9、石"+ie(o)_e(o)_h_2/7769
10、E上式对心1成立，对n=0,则上式括号中只有第一项，而无第二项。实际上能级移动可以准确求出AA2d2122H=H—mcoX—C1£X(、2[q£xr(mco丿?22oZinco12mdx22/?2d212=+—m22mdx22方2d212,2=7+—mcoxr2mdx''22m矿式中宀―芈。可见所讨论的体系，仍然是一个线性谐振子,mco^29它的每一个能级都比无电场时线性谐振子能级低车。Zmco^严格求解EOI+baaE{)2+b—ciE—（E（*+b）E—（E®+b）—a=0-aE_（E°
11、2+b）Hi//=E//，即E01+/?aC「=E~caE（）2+b_C2__C2.q5E—（£qj+b）—ci要使方程有非零解。则
