§5.1 非简并定态微扰理论

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1、§5.1非简并定态微扰理论重点：   微扰的条件，微扰能量二级修正的求解　  （一）基本方程假设体系的哈密顿算符H不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是，是加于上的微扰(5.1-1)以和表示的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程（5.1-2）的解是已知的，对于被微扰的体系有（5.1-3a）即（5.1-3b）（5.1-4）并在最后运算结果令，利用（5.1-4），则（5.1-3b）可写成（5.1-5）由于、En都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数的函数，将它们展为的幂级数

2、。（5.1-6）（5.1-7）式中、依次是体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数，和是能量和波函数的一级修正，等等。将（5.1-6），（5.1-7）式代入（5.1-5）式中，得（5.1-8）空虚等式两边同次幂的系数应相等，由此得到下面一系列方程：（5.1-9）（5.1-10）（5.1-11）将省去，为此在（5.1-4）式中令，得出，故可把，把，理解为能量和波函数的一级修正。（二）一级微扰（1）能量的一级修正为了求，以左乘（5.1-10）式两边，并对整个空间积分（5.1-12）注意是厄密算符，是实数，则上式左边（5.1-13）于是

3、由（5.1-12）式，注意到的正交归一性，得到（5.1-14）即能量的一级修正值等于在态中的平均值。（2）波函数的一级修正已知，由（5.1-10）式可求得。为此我们将按的本征函数系展开（5.1-15）在上式中，若决定，便可求得。为此，将上式代入（5.1-10）式，并注意，得以左乘上式两边后，对整个空间积分，并注意到的正交归一性：得到      （5.1-16）令（5.1-17）称为微扰矩阵元，于是由（5.1-16）式可得（5.1-18）代入（5.1-15）式，得        （5.1-19）上式求和号上角加撇表示求和时除去m=n的项。（三）二级微扰为

4、了求得量的二级修正，类似求一级微扰的方法，将（5.1-15）代入（5.1-11）式，并用左乘（5.1-11）式两边后，对整个空间积分得这里应用了的正交归一性。和（5.1-13）式一样，上式左边为零，右边第二项由于也为零，于是有利用（5.1-18）式得（5.1-20）上式求和号上角加一撇表示求和时要除去l=n的项，最后一步是因为是厄密算符，由（5.1-17）式有。　例题 1．转动惯量为I，电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。【解】：转子在电场中的势能取的方向为Z轴的方向，则体系的哈密顿算符其中其本征函数和

5、本征能量为基态波函数能量的零级近似能量的一级修正项=0因为，即二级修正：2．设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01及E02，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为都是实数。用微扰公式求能量至二级修正项。【解】：已知能量的一级修正值：能量一级近似能量的二级修正：能量的二以级近似3．一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。【解】        是的偶函数利用递推公式                                                 波函数的一级修正         利用能级移动可

6、以直接准确求出    令：  　                                                                            下一节