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时间:2019-08-15
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1、第五章微扰理论前几章介绍了量子力学的基本理论,使用这些理论解决了一些简单问题。如:(1)一维无限深势阱问题;(2)线性谐振子问题;(3)氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。然而,对于大量的实际物理问题,Schrodinger方程能有精确解的情况很少。通常体系的Hamilton量是比较复杂的,往往不能精确求解。因此,在处理复杂的实际问题时,量子力学求问题近似解的方法(简称近似方法)就显得特别重要。一、适用条件求解定态薛定谔方程比较复杂,无法直接求解,若可将其分成两部分§5.1非简并定态微扰理论(5.1-1)的本征值和本征函数可以求出(5.1
2、-2)H’是很小,可以看作加于H(0)上的微小扰动。为了明显表示出微扰的微小程度,将其写为:(5.1-4)因为En、
3、ψn>都与微扰有关,可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数:设(5.1-3)而
4、ψn(0)>,λ
5、ψn(1)>,λ2
6、ψn(2)>,...分别是状态矢量0级近似,一级修正和二级修正等。(5.1-6)(5.1-5)将(5.1-1),(5.1-4)-(5.1-6)代入方程(5.1-3)得:(5.1-7)即可写为根据等式两边λ同幂次的系数应该相等,可得到如下一系列方程式:(5.1-8)(5.1-9)(5.1-10)现在我们借助于未
7、微扰体系的态矢ψn(0)和本征能量En(0)来导出扰动后的态矢ψn和能量En的表达式。(1)能量一级修正λEn(1)由(5.1-9)知,态矢和能量的一级修正或写成左乘(5.1-11)由于左边,(5.1-12)所以右边,能量一级修正λEn(1)即能量的一级修正为在中的平均值.能量的一级修正(5.1-13)根据力学量本征矢的完备性假定,H(0)的本征矢ψn(0)是完备的,任何态矢量都可按其展开,ψn(1)也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为:(5.1-14)态矢的一级修正将(5.1-14)式代入式(5.1-9)得:考虑到本征基矢的正交归一性:左
8、乘由于,所以所以(5.1-17)代入式(5.1-14)得:(5.1-18)所以波函数的一级近似为:所以得(5.1-17)(5.1-21)为求能量的二级修正,由左乘所以(5.1-19)最后写成(5.1-20)(5.1-21)例1.一电荷为e的线性谐振子,受恒定弱电场ε作用。电场沿x正向,用微扰法求体系的定态能量和波函数。解:(1)电谐振子Hamilton量(2)写出H0的本征值和本征函数E(0),ψn(0)(3)计算En(1)可利用计算能量二级修正利用递推公式:对谐振子有;En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω,电谐振子
9、的精确解其中x’=x–[eε/μω2],可见,体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低{e2ε2/2μω2},而平衡点向右移动了{eε/μω2}距离。
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