非简并定态微扰理论

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1、第五章微扰理论前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；（3）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger方程能有精确解的情况很少。通常体系的Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。一、适用条件求解定态薛定谔方程比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分§5.1非简并定态微扰理论(5.1-1)的本征值和本征函数可以求出(5.1

2、-2)H’是很小,可以看作加于H(0)上的微小扰动。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：(5.1-4)因为En、

3、ψn>都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：设(5.1-3)而

4、ψn(0)>,λ

5、ψn(1)>,λ2

6、ψn(2)>,...分别是状态矢量0级近似，一级修正和二级修正等。(5.1-6)(5.1-5)将(5.1-1),(5.1-4)-(5.1-6)代入方程(5.1-3)得：(5.1-7)即可写为根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式:(5.1-8)(5.1-9)(5.1-10)现在我们借助于未

7、微扰体系的态矢ψn(0)和本征能量En(0)来导出扰动后的态矢ψn和能量En的表达式。(1)能量一级修正λEn(1)由(5.1-9)知,态矢和能量的一级修正或写成左乘(5.1-11)由于左边,(5.1-12)所以右边,能量一级修正λEn(1)即能量的一级修正为在中的平均值.能量的一级修正(5.1-13)根据力学量本征矢的完备性假定，H(0)的本征矢ψn(0)是完备的，任何态矢量都可按其展开，ψn(1)也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：(5.1-14)态矢的一级修正将(5.1-14)式代入式(5.1-9)得：考虑到本征基矢的正交归一性：左

8、乘由于,所以所以(5.1-17)代入式(5.1-14)得：(5.1-18)所以波函数的一级近似为：所以得(5.1-17)(5.1-21)为求能量的二级修正,由左乘所以(5.1-19)最后写成（5.1-20）（5.1-21）例1.一电荷为e的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿x正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。解：（1）电谐振子Hamilton量（2）写出H0的本征值和本征函数E(0),ψn(0)（3）计算En(1)可利用计算能量二级修正利用递推公式：对谐振子有；En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω，电谐振子

9、的精确解其中x’=x–[eε/μω2]，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低{e2ε2/2μω2}，而平衡点向右移动了{eε/μω2}距离。