向量与解析几何相结合专题复习

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1、向量与解析几何相结合专题复习平面向量与解析儿何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，H标是将儿何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。.一：将向量及其运算的几何意义转化为平血图形的位置关系或数量关系【例1.】已知ZABC中，A、B两点的朋标分别为(一4,2)、(3,1),O为他标原点。y2/0X己知ICAI=入・ICB1,1ADI=x•IDBI,OC//CD,且直线CD的方向向量为i=(1,2)求顶点C的坐标。I•ICAI

2、n—•—.->0【解】如图：・・・ICAI=n・lCBI,：tX=CB•:AD=X・IDBI,・・・A、D、B三点共线，D在线段AB±,AD八IG4IlIBlH入=

3、DBI^CB=DBACD是ZABC中ZC的角平分线。・・・A、D、B三点共线OC//CD?.0>C、D三点共线,即直线CD过原点。又・・•直线CD的方向向量为，=(1,2),・・・直线CD的斜率为2・•・直线CD的方程为：y=2x(注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题)易得：点

4、A(-4,2)关于直线y=2x的对称点是A'(4,-2),(怎样求对称点？)VA(4,-2)在直线BC±・・・直线BC的方程为：3x+y—IO=Op,=2xph[3x+y-10=0得c(2,4)【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的IAD丨=入・丨QBI和oC//CD转化ICAIIADI为三点共线，实现了向量条件向平而位置关系的转化；而由入=ICBIJDBI,实现了向量条件向平血图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了市向量条件向平几及解条件的转化。【例2】.3lI°F】=(—3,0),°尸2=(3,0)

5、,(O为处标原点)，动点“满足：〔MF】'+心1=10。(1)求动点M的轨迹C；——2PQ.‘•.2■2(2)若点P、O是曲线C上任意两点，且OP.OQ=()f求OP•OQ的值【解】(1)由〔MF】l+IMF?l=io知:动点M到两定点F］和F2的距离Z和为10根据椭圆的第•定义：动点M的轨迹为椭圆:22—(2)•・•点P、O是2516上任意两点22丄+「12516yfPOx设p(5cosa,4sina),q(5cos0,4sin0)(注意：这是点在椭恻上的一种常规设法，也是椭恻的参釧方程的一个应川)VOP.O

6、Q=q得：25coscrcos0+16sinasin0=()①■2■2■2而PQ、OP都可以用a、B的三角函数表示，利用①可以解得:——2PQ——2——2OP•OQ=40041【例3.】在ZABC屮，A(2,3),B(4,6),C(3,一1),点D满足：CACD=CD.CB(1)求点D的轨迹方程；(2)求IADI+IBDI的最小值。解(1)设D(x,y),则C4=(―1,4),CD=(x—3,y+1)CB=(1,7)•:CA.CD=CD.CB(—l)・(x—3)+4•(y+1)=(x—3)•1+(y+l)・7

7、整理得：2x+3y=()⑵易得点A关于直线2x+3y=0的对称点的坐标为M(-2,一3),・・・

8、乔1+1而

9、的最小值为：IAM1=3713【注意】这里利用向量的几何意义，将问题综合为在冇•线2x+3y=0上找一点，使它到点A、B的距离之和瑕小，利用对称点法解决。二将向量的朋标表示利运算转化为点的坐标和曲线的方程。【例4.]已知：过点A(0,1)且方向向量为(1,k)的直线/与0C：(x-2)2+(^-3)2=1相交与M、N两点。(1)求实数k的取值范围；(2)求证：AM•AN为定值；(3)若O为坐标原点，且O

10、M.ON=nf求k的值。【解】・・•直线/过点A(0,1)且方向向量为(1,k)・•・直线/的方程为：y=kx+l(注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率)将其代入OC：(兀-2)2+(y-3)2=1,得:(1+/)/一4(1+約兀+7=0①4-V74+771+1题意：△=[-4(l+R)]2-4x(l+幻x7〉0得：~T<(注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，dvR来解)(2)利用切割线定理可以证明I而l・

11、AN

12、=

13、石

14、»7,AT为切线，T为切点。根据向量的运算：

15、AM•AN=AMIdAN・Cos0°=7为定值。(注意：本题也可以设出M(兀1，戸)、N(兀2*2)的坐标，把AM>AN用坐标表示,山①利用韦达定理來证明)(3)设M(NJ),N(兀2，)‘2),则由①得:4+4R-+k271+k2om.on=X]勺+yiy2=(i+*)%i+*(兀i+花)+1叫2+8=1+Zr=12=>k=l(代入①检验符合题意)【例5.】已知：O为坐标原点，