向量与解析几何相结合专题复习.doc

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1、向量与解析几何相结合专题复习平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系【例1．】xCBAyOD已知△ABC中，A、B两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O为坐标原点。已知＝λ·，＝λ·，∥，且直线CD的方向向量为＝（1，2）求顶点C的坐标。【解】如图：∵＝λ·，∴λ＝∵＝λ·，∴A、D、B三点共线，D在线段AB上，且λ＝∴=∴CD是△ABC中∠C的角平分线。∴A、D、B三点共线

2、∥∴O、C、D三点共线,即直线CD过原点。又∵直线CD的方向向量为＝（1，2），∴直线CD的斜率为2∴直线CD的方程为：y＝2x（注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题）易得：点A（－4，2）关于直线y＝2x的对称点是A’（4,－2），（怎样求对称点？）∵A’（4,－2）在直线BC上∴直线BC的方程为：3x＋y－10＝0由得C（2，4）【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的＝λ·和∥转化为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝=，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。【例

3、2】．已知＝（－3，0），＝（3，0），（O为坐标原点），动点M满足：＋＝10。（1）求动点M的轨迹C；（2）若点P、O是曲线C上任意两点，且·=0，求的值【解】（1）由＋＝10知：动点M到两定点F1和F2的距离之和为10xQPyO根据椭圆的第一定义：动点M的轨迹为椭圆：（2）∵点P、O是上任意两点设P()，Q()（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用）∵·=0得：＝0①而、都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：＝【例3．】在△ABC中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D满足：·＝·（1）求点D的轨迹方程；（2）求

4、

5、＋

6、

7、的最小值。解：（1）

8、设D（x，y），则＝（－1，4），＝（x－3，y＋1）＝（1，7）∵·＝·∴（－1）·（x－3）＋4·（y＋1）＝（x－3）·1＋（y＋1）·7整理得：2x＋3y＝0(2)易得点A关于直线2x＋3y＝0的对称点的坐标为M（－2，－3），∴

9、

10、＋

11、

12、的最小值为：

13、

14、＝【注意】这里利用向量的几何意义，将问题综合为在直线2x＋3y＝0上找一点，使它到点A、B的距离之和最小，利用对称点法解决。二：将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程。【例4．】已知：过点A（0，1）且方向向量为＝（1，k）的直线l与⊙C：相交与M、N两点。（1）求实数k的取值范围；（2）求证：·为定值；（3）若O为坐标原点

15、，且·＝12，求k的值。【解】∵直线l过点A（0，1）且方向向量为＝（1，k）∴直线l的方程为：y＝kx＋1（注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率）将其代入⊙C：，得：①由题意：△＝得：（注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d

16、

17、·

18、

19、＝

20、

21、=7,AT为切线，T为切点。根据向量的运算：·＝

22、

23、·

24、

25、·cos00＝7为定值。（注意：本题也可以设出M（）、N（）的坐标，把、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明）（3）设M（），N（），则由①得：∴·＝＋＝＝＝12k＝1（代入①检验符合题意）【例5．】已知：O为坐标原点

26、，点F、T、M、P1满足=(1,0),=(－1，t)，=,⊥,∥。（1）当t变化时，求点P1的轨迹方程；（2）若P2是轨迹上不同与P1的另一点，且垂直非零实数λ，使得=λ·求证：+=1【解】设P1（x，y），则由：=得M是线段FT的中点，得M∴＝（－x，－y），又∵＝－＝（－2，t），＝（－1－x，t－y）∵⊥∴2x＋t(－y)＝0①∵∥∴（－1－x）·0＋（t－y）·1＝0化简得：t＝y②由①、②得：（注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。）（2）易知F（1，0）是抛物线的焦点，由=λ·，得F、P1、P2三点共线，即

27、直线P1P2为过焦点F的弦设P1（）、P2（）,直线P1P2的方程为：y＝k(x－1)代入得：则·＝1，＋＝∴+＝＋＝＝1（注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达定理进行证明。）经检验：当斜率k不存在时，结论也成立。【例6．】设平面内向量、满足：⊥，

28、

29、＝2，

30、

31、＝1，点M（x，y）满足：x＋与－x＋互相垂直。求证平面内存在两个定点A、B，使得对满足条件的任意