空间解析几何与向量代数综合复习

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1、空间解析几何与向量代数一、向量代数（ⅰ）有关空间直角坐标系下点坐标的问题。1．（4¢）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(A)(B)(C)(D)解：（A）Ⅳ（B）Ⅴ（C）Ⅷ（D）Ⅲ2．（6¢）若，则中点坐标为，5.3.（7¢）求点关于（1）各坐标面（2）各坐标轴（3）坐标原点的对称点坐标。解：（1）（2）（3）4．（4¢）若点的坐标为，则向径用坐标可表示为或.5．（8¢）一边长为的立方体放置在面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在轴和轴上，求它各顶点的坐标。解：6．（7¢）已知，，且

2、，求（1）；（2）线段的中点坐标。解：（ⅱ）有关向量概念及向量线性运算的坐标表示。7．（8¢）设已知两点和，计算的模、方向余弦、方向角及单位向量。解：（1）模2，（2）（3）8．（6¢）若为向量的方向角，则1；2.9.（6¢）设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量。解：（1）13，（2）(10．（6¢）已知点的向径为单位向量，且与轴的夹角为，另外两个方向角相等，求点的坐标。解：11.（6¢）已知向量与各坐标轴成相等的锐角，若，求的坐标。解：因为，所以同理，故（ⅲ）向量的数量积与向量积及其坐标运算

3、。12．（4¢）下列关系式错误的是------------------------------------------------------------------（D）(A)(B)(C)(D)13．（7¢）设，，求与解：，14.（7¢）设，求解：（ⅳ）用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影。15．确定下列各组向量间的位置关系：（1）（4¢）与‖（2）（4¢）与16．（7¢）求向量在向量上的投影。解：（ⅴ）用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题。17．（7¢）

4、已知：，，求的面积。解：18．（7¢）三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为，则如何用向量积的方法来求出的面积？解：19．（7¢）试找出一个与同时垂直的向量。解：=Ⅲ、综合应用题型：（ⅰ）涉及到代数向量（即用坐标表达式表示的具体向量）的综合计算问题。20．（10¢）已知三点，（1）求；（2）求与同时垂直的单位向量。解：（1），故（2）21．（8¢）已知，试在轴上求一点，使的面积最小。解：设，二、平面方程（ⅰ）三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置。26．（7¢）求过三点的平面方程。若不

5、共线，你能给出过此三点的平面方程吗？解：因为平面的法向量为故27．指出下列平面方程的位置特点，并作示意图：（1）（5¢）；（2）（5¢）；（3）（5¢）解：（1）过点且平行于坐标面的平面。过轴且垂直于坐标面的平面。（3）截距分别为的平面。（ⅱ）二平面垂直与平行的判定。28．判定下列两平面之间的位置关系：（1）（4¢）与（2）（4¢）与解（1）平行；（2）垂直（ⅲ）二平面夹角的计算（夹角规定为[0,]）。29．（4¢）求两平面和的夹角。解：，故（ⅳ）点到平面距离的计算。30．（4¢）点到平面的距离31

6、．（7¢）求与之间的距离。解：在上取一点，由点到平面的距离公式得（ⅴ）用点法式方程建立与已知平面有关的未知平面方程．32．求满足下列条件的平面方程：（1）（7¢）平行轴，且过点和解：设所求平面为，将代入得故所求平面为（2）（7¢）过点且平行于平面解：，即（3）（7¢）过点和且垂直于平面解：所求平面为，于是有，解得，即三、直线方程（ⅰ）两点式直线方程的计算。33．（4¢）过点的直线方程为（ⅱ）一般式方程转化为对称式方程。34．（7¢）用对称式方程及参数式方程表示直线解：，取得故直线的对称式方程为直线参

7、数式方程为（ⅲ）两直平行或垂直的判定。35.判别下列各直线之间的位置关系：（1）（4¢）与解：，，所以（2）（4¢）与解：，所以‖（ⅳ）点到直线距离的计算．36．（7¢）求原点到的距离。解：方法（1）化为参数方程点（0，0，0）到直线上任意点的距离为（参数为的点）方法（2）过点（0，0，0）与且直线垂直的平面方程为将直线化为参数式方程为代入直线的垂面方程，得所以（0，0，0）在直线上的垂足为所求距离为四、平面与直线综合题（ⅰ）直线与平面的交点计算。38．（5¢）求直线与平面的交点。解：（1）令代入平

8、面得，所求交点为（ⅱ）已知点在已知平面的投影计算。39．（7¢）求点在平面上的投影。解：过且与垂直的直线方程为代入得，故在平面上的投影为（ⅲ）直线与平面特殊位置关系的判定。40．（4¢）设与，则--------------（C）（A）（B）（C）（D）与夹角为（ⅰ）涉及线面关系的综合计算。41．（7¢）求过点且与直线垂直的平面方程。解：所求平面方程为即42．（7¢）求过点且与两平面和平行的直线方程。解：直线的方向向量为故所直线方程为43．（7¢）求过点且通过的平面方程