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1、一、向量代数和空间解几（一）向量代数向量概念向量概念向量的向量的向量的向量的线性运算线性运算表示法表示法向量的积数量积数量积混合积混合积向量积向量积1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.重要概念:向量的模、单位向量、零向量、自由向量、相等向量、负向量、平行向量、向径.2、向量的线性运算rrra+b=crrrr(1)加法：a+b=cbrrr(2)减法：a−b=drrrraa−b=d(3)向量与数的乘法：rr设λ是一个数，向量a与λ的乘积λa规定为rrrr(1)λ>0,λa与a同向，
2、λa
3、=
4、λ
5、a
6、rr(2)λ=0,λa=0rrrr(3)λ<0,λa与a反向，
7、λa
8、=
9、λ
10、⋅
11、a
12、3、向量的表示法rrrr向量的分解式：a=ai+aj+akxyzrrr在三个坐标轴上的分向量：axi,ayj,azkr向量的坐标表示式：a={a,a,a}xyz向量的坐标：ax,ay,az其中aa,a分别为向量在x,y,z轴上的投影.x,yz向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式rra={ax,ay,az}b={bx,by,bz}rra+b={a+b,a+b,a+b}xxyyzzrrr=(a+b)i+(a
13、+b)j+(a+b)kxxyyzzrra−b={a−b,a−b,a−b}xxyyzzrrr=(a−b)i+(a−b)j+(a−b)kxxyyzzrλa={λa,λa,λa}xyzrrr=(λa)i+(λa)j+(λa)kxyzr222向量模长的坐标表示式
14、a
15、=ax+ay+az向量方向余弦的坐标表示式axcosα=222a+a+axyzaycosβ=222a+a+axyzazcosγ=222(cos2+cos2+cos2=1)a+a+aαβγxyz4、数量积(点积、内积)rrrrrra⋅b=
16、a
17、
18、b
19、
20、cosθ其中θ为a与b的夹角数量积的坐标表达式rra⋅b=ab+ab+abxxyyzz两向量夹角余弦的坐标表示式ab+ab+abxxyyzzcosθ=222222a+a+ab+b+bxyzxyzrra⊥bab+ab+ab=0xxyyzz5、向量积(叉积、外积)rrrrr
21、c
22、=
23、a
24、
25、b
26、sinθ其中θ为a与b的夹角rrrc的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.向量积的坐标表达式rrrra×b=(ab−ab)i+(ab−ab)jyzzyzxxzr+(ab−ab)kxyyxrrrijk→→a×
27、brra×b=axayaz→cbxbybzh→θrraaabxyza//b==bbb→xyza→→→6、混合积
28、[a,b,c]
29、=Vaaaxyzrrrrrr[a,b,c]=(a×b)⋅c=bbbxyzcccxyz（二）空间解析几何空间直角坐标系空间直角坐标系一般方程一般方程旋转曲面旋转曲面曲线曲线曲面曲面参数方程参数方程柱面柱面一般方程一般方程直线直线平面平面二次曲面二次曲面参数方程参数方程对称式方程对称式方程点法式方程点法式方程一般方程一般方程1、空间直角坐标系z竖轴空间的点定点o•(x,y,z)y
30、纵轴有序数组横轴xz空间直o角坐yx标系共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.两点间距离公式:设M(x,y,z)、M(x,y,z)为空间两点11112222它们距离为()2()2()2MM=x−x+y−y+z−z122121212、曲面曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系：(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程；(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形.研究空间曲面的两个基本问题：（1）已
31、知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.[1]旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的轴.方程特点:⎧f(x,y)=0设有平面曲线L:⎨⎩z=0(1)曲线L绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为22f(x,±y+z)=0(2)曲线L绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为22f(±x+z,y)=0（1）球面（2）圆锥面（3）旋转双曲面222222222xyzx+y+z=1x+y=z+−=1222aac[2]柱面定平行于定直线并沿定曲
32、线C移动的直线义：L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.从柱面方程看柱面的特征：只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.(1)平面y=x(2)圆柱面(3)抛物柱面(4)椭圆柱面222222xyx+y=Rx=2py+=122ab(p>0)[3]二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面（2）椭圆抛物面222x2y2xyz++=1+=za2b
