例析无棱二面角求解策略

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1、例析无棱二面角求解策略例析无棱二而角求解策略王金发(安徽省铜陵县第一中学244100)二面角是立体儿何中的重耍知识点.求二面角的大小则是一个难点，特别是当二面角的棱没有给出时，则是难上加难.下血以2010年陕西高考题为例，介绍儿种常见的求解无棱二面角的方法，供大家参考.例如图一，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,APAB2,BCE,F分别是AD,PC的中点.(l)iiE明：PC平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小.题(1)解略；题(2)中平面BEF与平面BA

2、P夹角即为平面BEF与平面BAP所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.如图一：PA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC.乂BCAB,ABPAA,BC平面BAP.又BC平面PBC,平面PBC平面BAP.由题(1),PC平面BEF,PC平面BEF,平面PBC平面BEF.所以PBF是所求二面角的平面角x/2.^AB2+BC2+PA2PBPF1PC2sinPBFPFPBF・PB4即平而BEF与平而BAP夹角为方法二：平移平

3、面法・4如果两平行平面同时与第三个平而相交，那么这两个平行平而与第三个平而所成的二而角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角.如图二：取BC的中点G,连接FG,EG.E,F分别是AD,PC的屮点，EGAB,FGPB.又FGEGG,ABPBB,平面EFG平面BAP.二面角BEFG的大小就是平而BEF与平面BAP夹角的大小.可以证明BFG为二面角BEFG的平面角，并求出其大小为.4方法三:射影法S''利用公式cos,其中S表示二而角的一个半平浙内某个多边形的而积，S表示

4、此多边形在另一S个半平面射影的而积，表示原图形与射影图形所成的二而角FAB图二一1一如图三:取PB的中点H,连接FH,AH,F为PC中点，FIIBC,AEBC.由解法一知，BC平面BAP,FII平面BAP,AE平面BAP,点F、E在平面BAP内的射影分别为H、A.BEF在平面BAP上的射影为BAIL可以证明BEF和BAH均为直角三角形.IIFBC,AEBC,IIFBC1BC,2四边形HFEA为平行四边形，EFAE.记平面BEF与平面BAP夹角为,则cos所以SBAIISBEF4,即平面BEF与平面B

5、AP夹角为.4补棱通常是利用公理3找到二面角的两个公共点，公共点的连线即为二面角的棱；或者是利用线面平行的性质定理，添加辅助线或补形以作出二面角的棱，使无棱二面角变为有棱二面角.如图四：取BP的中点H,延长PA至G,使点A为PG的中点，连接HF,AH,BG,EG.AHBG,由解法三知EFAH,EFBG,四边形EFBG为平面四边形平面PBG平面EFBGBG,所以BG为所求二面角的棱.可证明PBF为所求二面角的平面角，算得PBF方法五：向量法根据图形特征，建立适当的空间直角坐标系，若向量nl,n2分别是

6、二面角两个半平面的法向量，则向量nl,n2所成的角即为二面角或其补角的大小.如图五：以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.4.APAB2,BCAD，四边形ABCD是矩形.A,C,l),P坐标分别为A(0,0,0)、C、D、P返(0,0,2).由题(1)知平面BEF的法向量nlPC2),-2-平血BAP的法向量n2AD设平面BEE与平面BAP夹角为，则4x2^5s/2nln2•coscosnl,n22nln24,即平面BEF与平面BAP夹角为・4以上介绍的

7、儿种求解无棱二面角人小的方法各有所长.一般悄况下，建立空间直角朋标系、用向量法容易操作，但有时计算比较繁杂；另外的四种方法规律性较强，技巧性较高.但不管怎样，只要我们熟练学握对应的证法技巧和求解技巧，以“不变”应“万变”，就能立于不败Z地！