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1、浅析解几中定值问题的求解策略广东省陆丰市龙山中学范松波摘要：本文通过分析图中变动部分与I占I定部分的关系，图屮变动部分的特殊位置和固定部分Z间的关系，以及运用三角和关知识、解析儿何方法、综合分析等方法，探求了平面解析几何的定值问题。关键词：定值策略探求几何定值问题是不少学生难以理解与掌握的，因为这类问题虽然多以证明题的形式出现，却乂不知道证明结果是什么，所以学生不知从何下手。因此学生学习这类问题普遍感到困难，对这类问题的解决也缺乏信心。木文主要以2011年深圳市高三年级第一次调研考试理科的一道试题为例，对几何定值的探求策略作一些归纳。引例：2011年深圳市高三年级第一次调研考
2、试理科数学第19题：r2己知点F是椭圆——+）—l（d〉O）的右焦点，点M（〃,O）、7V（O,n）分别是兀1+/轴、y轴上的动点，且满足MNNF=O.若点卩满足而=2ON+PO・（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线04、与直线%=分别交于点S、T（O为坐标原点），试判断再•丙是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.1、定值问题：所谓几何定值问题，就是命题的条件屮，一部分几何元素是固定的，而另一部分元素则可在一定范围内变动，但与此变动元素和关联的某种几何量（线、角、弧、面积）或其和、差、积、比等的值却保持不变，这就是
3、定值。因此，证明定值问题的常规思路是引进适当的参变量，就是证明它可以用已知量的确定关系来表示，与所引进的参变量无关。所以，证明几何定值问题策略有二：一先是把这个“定值”用特殊位置、特殊值等探求出来，再把它转化成一般的证明问题，体现出从一般到特殊的思想方法。二是整体代入，设而不求。1.1、先找定值再证明一•般成立的解题策略，就是先找特殊位置或特殊图形或特殊数值等跟所求的值有关的一种情形进行求解，得定值，并为解决-•般情况指明方向和目标，从而完成对一般情形的证明。如，点P在线段AB上移动时，端点A和B以及中点都是特殊位置，点P在椭圆上移动时，长轴与短轴上的四个端点都是特殊位置，过
4、某个定的直线有无数条，但斜率存在吋和为0吋都是特殊位置等等。这些就是我们探求定值问题是应知的，口J通过这些求得定值。如上述引例屮，易得点P的轨迹C的方程y2=4ax.在第（2）小题中，両•万的值由动点S,T决定，而S、：T直线04、OB决定，而A,B是过点F任作一直线与点P的轨迹y2=4ax的交点，因此，丽•万的值为定值吋与育线AB的位置无关，所以当直线abafa®直于兀轴时就可把定值求出来。当ab丄兀时，A(a,2a)>B(a,—2cT),则l0A:y=2x,l0B:y=-2x.(此时,A,B和直线OA和OB者是定的){y—2兀'得点S的坐标为s(-d,-2d),则FS=(
5、-2a,-2a).x=-a出F=得点T的坐标为T(_d,2d),则FT=(-2a,2a).[x=-a:.FSFT=(-2a)x(-2a)+(-2a)x2a=0.因此，定值就是0•下面证明一般情况也是这个定值。此时，点A、B是动点要引入参数必，力，直线仙冇斜率，要引入斜率R,我们现在的冃标就是川参数开，儿，R和己知量表示冃标FSFT并证明与这些参变数无关，可消去。2当AB不垂直x轴时，设肓线仙的方程为y=°)伙H0),人(土严】)、2凤—亠),同解法一，得质・厅=4护+空.由y=k(x-a[y2=4ax心他7宀0,•»一几则莎帀皿+百矿4宀4宀0.因此，丙•片的值是定值，且
6、定值为0.这就体现出从特殊到一般的推理思路和思想方法，是解决定值问题的通法。1・2、设而不求，整体代入的解题策略，为了表达目标函数或表达式，往往需要引入几个参数，而这几个参数组成的代数式整体可求，单一不能或难求，如直线x=ty+^过抛物线y2=2px的焦点F&,0)且与抛物线交于A(x,,)「)、B(x2y2)22两点,则有yly2=-p2^而不能求出)W2各是多少，只能整体把)卩2的值代入；有些甚至是设了好多参数，最后代入口标函数后可以全部约去，变为常'数，这就2是设而不求的思想。如上引例中，设直线4B的方程为兀=O+A(»」)、4a2B(—,y2)，(引入参数，t,y{,
7、y2)则l0A:y=—x,l0B:y=—x.4d・)‘2y=——x.4/72An-由X，得),同理得).X>?2x=-a2o4FS=(-2a,-4a),FT=(-2a,-—),则FS-FT=4a2.到这里只)1>?2川2要整体求出)[儿的值就行，根据经验只要构造一元二次方程应用韦达定理可得。出°°’，得y2-4aty-4a2=0,?.yxy2=-4tz2.[y=4ax贝lj冠•万=4a2+16'=4a2-4a2=0・(-4«2)因此，瓦•万的值是定值，且定值为0.1・3、引参消参策略,通过引入参数表示
