从近几年高考谈解几“范围”问题的求解策略

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1、从近几年高考谈解几“范围”问题的求解策略江苏省宜兴市丁蜀高级中学汤文兵黎明邮编214221解析几何中的“范围”问题一直是高考中的难点和热点。难在它综合性强、灵活性高，热的是它融众多知识和技巧于一体，深得命题者偏爱。据笔者不完全统计，近十年的全国高考中,此类问题（包含最值）每年不少于10题，2013年多达19题，更有不少省份每年以这类问题为压轴题。但教学中我们也发现有相当一部分学生因这类题目条件隐晦、变数较多、关系复杂、计算繁琐，往往感到心中无数，甚至有些不知所措，有的学生还由此产生恐惧情绪，造成解题的心理障碍。下面将通过近几年相关高考题的分析来说明，解析几何中“范围”问

2、题的求解其实也是有规可寻、有据可依的。一、构造有关量的不等式,通过解不等式求范围解几中的范围问题很多是转化为不等式来处理的，常规思路是看到“范围”，马上联想“不等式”，“不等式”从何而来？其依据是什么？由此可知解题的关键是寻找“不等源”。1．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)A．(0，1)B.C.D.　[解析]：易得△ABC面积为1，1）当直线y＝ax＋b分别交边AB、BC于D、E时，，由得，又y＝ax＋b与x轴交于，结合图形与，∴.∵a>0，

3、∴>0b<，2）当直线y＝ax＋b分别交边AC、BC于D、E时，同理易得点D横坐标，点E横坐标，由－）=得：，故，第8页共8页综上，故答案为B.点评：题设＞0显然是一个“不等源”，由面积相等将用表示，但仅限于此，只能得到b<或，另一个就只能猜了，不能得出正确结论。该题为填空压轴题，有一定难度，此类问题用特殊位置法往往比较凑效。当＝0时，易得b＝1－；当＝时，易得b＝；当＝1时，易得b＝－1>.故选B.2、[2007全国2理]在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．解：（1）．（2）不妨设．

4、由即得．设，由成等比数列，得，即．由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．点评：按常规思路求得的表达式后需知的范围，“圆内的动点”就成了“不等源”。3、[2009全国卷Ⅰ理]如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。（I）求得取值范围；解：（I）将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）第8页共8页由题意，方程（＊）有两个不相等的正根即可.故易得.点评：本题通过联立方程得一新的一元二次方程，由对称性知抛物线与圆相交于四个点等价于该方程有两个不等正根，故两不等正根就是本题的“不等源”。二、构造有关量的函数式,转化为求函数的值域相当一部分的解几范围

5、问题是转化为求函数的值域，目标函数的得出是关键。4、[2011上海文]已知椭圆（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为（1）若与重合，求曲线的焦点坐标；（2）若，求的最大值与最小值；（3）若的最小值为，求实数的取值范围.解：⑴，椭圆方程为，∴左、右焦点坐标为。⑵，椭圆方程为，设，则∴时；时。⑶设动点，则∵，∴，又当时，取最小值，∴，解得。点评：本题的（2）、（3）两小题都是用距离公式建立的目标函数，再用配方求最值来处理。第8页共8页5、[2011浙江理]（第21题图）如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q，若直线l不过原

6、点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则.由消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0.﹡则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.方法一：∴

7、b

8、()≥2

9、b

10、=2

11、b

12、=2.∵y1、y2可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+）.方法二：∴=

13、b

14、=

15、b

16、.当b>0时，=b==+2>2；当b<0时，=－b=.又由方程﹡有两个相异实根，得△=4(

17、k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>－2b.所以>=2.∵当b>0时，可取一切正数，第8页共8页∴的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).于是b==－x1x2.∴==+=+≥2.∵可取一切不等于1的正数，∴的取值范围是（2，+）.点评：本题首先用相似三角形性质将转化为，方法一直接利用基本不等式显得简捷明了，相比之下方法二和方法三则繁了不少。解题时如何选择合适的方法，这取决于各人的领悟