高一数学人教A版必修1学案：课堂探究32函数模型及其应用第2课时含解析

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1、课堂探究探究一已知函数模型的应用题已知函数模型的应用题主要有两种情况：一是已知某量满足某函数式，据此列出所求量的函数式，然后利用函数知识解答相关问题；二是已知所求量满足的函数式，但式中含有参数，像这样的问题，应先根据已知条件求出函数式中的参数，然后再据此函数解答相关问题.【典型例题1］物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是％,经过一定时间/后的温度是卩，则T-T^ao-TJX一，其中几表示环境温⑵度，/?称为半衰期，现有一杯用88°C热水冲的速溶咖啡，放在24°C的房间中，如果咖啡降温到40°C需要20min,那么降温到35°C时，需要多长时

2、间？解：先设定半衰期力，由题意知即一=—42()(iy40-24=(88-24)X一⑵解之,得力=10,(1Aio故原式可化简为T-24=(88-24)X一2丿11~64当“时，代入上式，得,35-24=（88-沁仲⑵两边取对数，用计算器求得/"25.因此，约需要25min,可降温到35°C.探究二建立函数模型的应用题当实际应用题中没有给出函数模型时，其解题步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，找岀题意中所蕴含的函数关系；第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；笫三步：运用所学的数学知识和数学

3、方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论，要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义.【典型例题2】某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M（亿元）和M亿元），它们与投资额/（亿元）的关系有经验公式：N=b.今该公司将用3亿元投资36这两个项目，若设甲项目投资兀亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元.(1)写出y关于x的函数表达式；(2)求总利润y的最大值.思路分析：⑴总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;⑵转化为求⑴中函数的最大值.解：(1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M=-4x(亿元)，此时乙项目投

4、资(3-x)3亿元，获得利润为7V=-(3-x)(亿元)，则有y=-4x+-(3-x),%e[0,3].36(2)令[x=tf圧[0,>/3],则x=r,・・・©0,a/3],2・••当r=1,即x=l时，丿有最大值，为一，2即总利润)'，的最大值是一亿元.探究三拟合函数模型的应用题对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所

5、有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的.因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.(3)根据所学函数知识，求岀拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.【典型例题3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度兀cm与当年灌溉面积yhn?.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm211

6、5.22&6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019136.9⑴描点I田i出灌溉面积yhm2随积雪深度xcm变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的两数模型y=/U),并画出图彖；(1)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm,则诃以灌溉的土地面积是多少？思路分析：首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型.解：(1)描点作图如图甲:探究四易错辨析易错点求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制【典型例题4】如

7、图所示，在矩形ABCD屮，已知AB=afBC=b(b