高一数学人教A版必修1学案：互动课堂32函数模型及其应用

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1、互动课堂疏导引导一、函数的应用1•数学建模的地位和作用数学来源于生活，又服务于生活.在生活中的形形色色的数据处理需耍数学模型，对于事物的发展和预测也离不开数学模型的建立,所以数学建模是提出问题和解决问题的必rhZ路.掌握函数的基础知识是学好本节的前提.例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质.反过來，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高同学们学习数学的积极性.在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用.2•数学模型的种类第一-类是以数

2、学课本上的知识为探究内容.如利用图形计算器展现数学知识的形成过程、知识的应用过程.第二类探究的内容來源于物理、化学等学科.主要是利用CBL(基于图形计算器的掌上实验室)和各种探讨开展物理和化学实验，对物理现象和化学反应进行观察、收集数据、处理数据，完成定性和定量的分析.第三类探究的内容主要来源于生活，是那些看似与数学无关或与数学有关但关系不明显的问题.如节约能源(怎样烧开一壶水更省天然气)、储蓄问题(怎样存钱能获得更多利息)、绿化问题(控制栽树和伐树的比例保护坏境)、生态问题(草食动物和肉食动物

3、的平衡)等等，这样的问题可以由我们自己发现和提出，也可以由老师提供原始材料，我们对材料进行筛选、组织，选取关键的特征和关系，用数学的语言表达，建立数学模型，利用图形，计算器对数学模型处理，从而解决问题.3.数学应用题的求解策略“数学建模”是解决数学应用题的重要方法，解应用题的一般步骤：(1)审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系.(2)建模:将文字语言转化成数学语言.(3)求模:求解数学模型，得到数学结论.(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.4.常见的数学模型有哪些？

4、探究思路：利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幕函数来解决问题•下面是几种常见的数学模型：(1)平均增长率问题：如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的产值或产量y二N(1+p)x.(2)储蓄屮的复利问题：如果本金为a元，每期利率为“本利和为y,存期为x,则yp(1+r)%.(3)根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、吋间的函数关系，灌溉渠的横截

5、面面积A和水深h的函数关系.(4)通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等.我们在前面己经学习了有关一次函数、二次函数在具体实际中的应用，现在学习有关指数函数和对数函数在实际中的应用.二、指数函数的应用•案例1某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降•若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+丄）万

6、元（n为正整数）.⑴设从今年起的前n年，若该企2”业不进行技术改造的累计纯利润为儿万元，进行技术改造后的累计纯利润为B“万元（需扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年.进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【探究】（l）An、Bn是年数n的函数，又由于An、B“都是“累计纯利润”，.••要分别进行数列求和.⑵实际上就是求B„-An>0时n的最小值.【解】（1）依题设，A„=（500-20）+（500-40）+•••+（500-

7、20n）=490n-10n为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）第二次最迟应在何吋注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）（已知lg2=0.3010）；型TOO.B„=500[(l+丄)(1+丄)+•••+(1+丄)]—600二500n—2222"2”/、一500、/,,500「/、2"(2)Bn—An=(500n——100)—(490n—10n)=10n+10n——100=10[n(n+1)—2"•，函数円（n+1）-多-10在（0,+8）上为增函

8、数,当1WnW3时，n(n+l)———10^12———10<0；2"8当n$4时，n(n+l)—凹一10M20—也一10>0.2"16・・・仅当nN4时,Bn>An.答:至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术发行的累计纯利润.【溯源】与指数函数相关的应用问题较多，如平均增长率等问题，遇到类似问题时，应能主动调动指数函数相关知识来解决.三、对数函数的应用•案例2医学上为研究传染病传播中病痔细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与