高一数学人教A版必修1学案：互动课堂23幂函数

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1、互动课堂疏导引导一、幕函数的定义一般地，函数y二xFL

2、做幕函数,其中，x是自变量，a是常数.疑难疏引1.我们只讨论a为有理数时的简单的幕函数.虽然y二x、yp?是幕函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幕函数，如:y=x+l、y=2x2+l都不是幕函数，它们并不满足幕函数的定义，但它们是与幕函数相关联的函数，它们是由幕函数与常数经过算术运算得到的•幕函数的定义域和值域是由它的幕指数来确定的，幕指数不同，定义域和值域也不同.掌握幕函数的关键一定耍明确“形如y二x°的函数”这句话的重要作用.2.幕

3、函数的定义域比较复杂，应分类进行掌握：(1)当指数n是正整数时，定义域是R.(2)当指数n是正分数时，设(p、q是互质的正整数,q>l),则风0万=也".q如果q是奇数，定义域是R；如果q是偶数，定义域是［0,+8).⑶当指数n是负整数时，设n=-k,x“二丄，显然x不能为零,所以定义域是{x

4、xGR.且xHO}.X⑷当指数n是负分数时，设n二-£(p、q是互质的正整数,q>l),则x咗丄二亠.q長VF如果q是奇数，定义域是{x

5、xeR,且xHO};如果q是偶数，定义域是(0,+s).3.幕函数与指

6、数函数的区别：虽然幕函数和指数函数的表达式都是指数式的形式，但二者的定义域不同，即指数函数yF中,指数是自变量，而幕函数y二X。中,底数是自变量.当然，由此可见，二者的对应关系和值域也不同.二、幕函数的图象和性质如图所示,幕函数有如下性质：1.所有幕函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；2.如果a〉0,则幕函数的图彖通过原点并且在区间［0,+8)上是增函数；3.如果a〈0,则幕函数在区间(0,+8)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴，当

7、x趋于+«时，图彖在x轴上方无限地逼近x轴.疑难疏引研究幕函数的图象与性质可通过对典型的幕函数y二x'、y二x"及y二的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质，通过对幕函数y二x2>y二x'及y二x了的图彖研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有：(1)研究幕函数的性质时，通常将分式指数幕化为根式形式，负整数指数幕化为分式形式再去进行讨论.(2)对于幕函数y=xn(n>0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型

8、，即n<0,0〈*1和n>l三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幕函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即n>O(n^l)时图象是抛物线型;*0时图象是双曲线型;n>l时图象是竖直抛物线型;0

9、非奇偶函数.•案例1比较下列各组数的大小.(1)3.143与兀3;(2)(-V2)_5与(-V3厂5.4【探究】指数相同，可以根据幕函数的单调性判断.(1)由于幕函数y二x一了(x>0)单调递减_4._4.且3.14H_3.3(2)由于y二xT这个幕函数是奇函数，f(~x)=-f(x).因此，(-V2)了二-(血)了，(-馅)s-=-(V3)歹.而y二x5"(x>0)单调递减，且41(-^3)=>-(V2)^<-(-^3)*,即(-V2)^<(--^3)

10、k.【溯源】幕函数屮的比较大小问题特别常见，主要是考查幕函数的概念和基本性质屮的单调性,在解答这部分内容的考题吋，数形结合是最佳的选择,如果是选择题则主要有两种思考方式:一种是直接肯定式的思考方式，另一种是间接否定式的思考方式.三、幕函数的实际应用•案例2某工厂从t年到t+2年新产品的成本共下降了51%,若两年下降的百分率相同，则每年下降的百分率为()A.30%B.25.5%C.24.5%D.51%【探究】本题考查幕函数的实际应用，涉及到平均增长率公式的应用和参数的思想,题设小没有年份和成本的具体数

11、，学生要敢于设未知参数.设t年的成本为a,每年下降的百分率为x,则t+2年的成本为a(l-x)；・・・"(1R二51%,解得％二30%.a因此，选A.【溯源】依据慕函数去解决有关增长率问题是今后考查的一个重点内容，其解题的关键是如何建立恰当的数学模型.活学巧用1.已知函数:①y二x-l;②y二x'+2x;③y=2x;④y二x兀;@y=x";@y=2':'I1,是幕函数的有.【思路解析】由于幕函数中，变量的系数是1,而>1.没有其他的与之相加减的项，所以容易判断答案•另