《优化课堂》高一数学人教A版必修1学案：第二章23幂函数

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1、2.3幕函数［学习目标］1•通过实例，了解幕函数的概念，能区别幕函数与指数函数（易混点）・2•结合函数y=x9y=x2,y=x3fy=^y=x~x的图象，了解它们的变化情况（难点）・3•能够运用幕函数的简单性质进行实数大小的比较（重点）.自主学习•基础知识一、幕函数的概念般地，函数”=疋叫做幕函数,其中土是自变量，色是常数.二、幕函数的图象与性质函数指数函数幕函数解析式丁=/(°>0,且“H1)y=x°(a^R)相同点右边都是幕的形式不同点幕函数的未知数是底数，而指数函数的未知数是指数；指数函数定义域为R,与“无关，而幕函数丿=疋的定义域随。的不同而不同1.判断：(正确的打“J”，错

2、误的打“X”)⑴函数y=x3+2是幕函数.()(2)幕函数的图象必过(0,U)秋1,1)这两点.()(3)指数函数y=^的定义域为R,与底数a无关，幕函数的定义域为R,与指数也无关.()【答案】⑴x(2)X⑶X2.下列函数中，不是幕函数的是()A.y=2xB・y=x~xC・y=y[xD・y=x2【解析】由幕函数定义知y=2x不是幕函数，而是指数函数.【答案】A3.函数j=x3的图象关于对称.【解析】函数y=x3为奇函数，其图象关于原点对称.【答案】原点4.若幕函数过(2,迄)点，则此函数的解析式为•【解析】设幕函数为f(x)=xa9则[l=2“，：・a=

3、.・・・/U)=£【答案］

4、f(x)=Xj疑难问题卡片预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4御型也幕函数的概念L例⑴若y=(加2—4加一4)/是幕函数，则加=，贝!1爪4)=⑵(2014•宿迁高一检测)已知幕函数f(x)=xa的图象过点2⑶函数/(x)=(m2-m-l)xm2+m-3是幕函数，且当xW(0,+8)时，冗对是增函数，则金)的解析式为【解析】⑴"=(//—4加一4)/是幕函数,/.7W2—4m—4=1,解得m=—或加=5・(2)由题意¥=2蔦即2-

5、=2°,・・°=一舟,A/(4)=4-

6、=

7、.(3)根据幕函数的定义得加一1=1,解得m=l或加=—1,当m=

8、2时，/(x)=x3,在(0,+8)上是增函数，符合题意；当加=—1时，/(x)=x~3,在(0,+°°)上是减函数，不符合要求.故/{x)=x3・【答案】(1)一1或5(2)

9、(3g)=OI规律方法I判断一个函数是否为幕函数的依据是该函数是否为为常数)的形式,即函数的解析式为一个無的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量;(3)系数为1・反之，若一个函数为舉函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件.幕函数的图象和性质(1)(2014-长沙高一检测妆口图2-3-1中曲线是幕函数歹=%”在第一象限的图象.已知巾取±2,±£四个值，则相应于曲线G，C2,

10、C3,C4的农值依次为()A・一2,一*,2B.2,2»C~2>—2,2,2D・2,yT,—2(2)若点4小,2)在幕函数金)的图象，B(—2,在幕函数g(x)的图象上，①求./U)、g(x)的解析式；②求当兀为何值时：(i”U)>g(x)；(ii”U)=g(x)；・【思路探究】(1)根据幕函数的图象特征及性质确定相应的图象；(2)设出函数解析式fix)=xg(x)=x把B两点的坐标分别代入求得a,b即可.画出相应的函数图象，数形结合求得x的范围.【解析】(1)由幕函数的图象与性质，川V0时不过原点，故C3,C4对应的〃值均为负，C],C2对应的〃值均为正；由增(减)快慢知曲线C

11、l,C2,C3,C4【答案】B⑵①设fix)=xa9因为点(迈，2)在幕函数.心)的图象上，所以(迄)“=2,所以“=2,即y(x)=x2.设g(x)=xh9因为点B(—2,》在幕函数g(x)的图象上，所以(―2)a=

12、,所以方=—2,即g(x)=x~2・②令yu)=g(x),解得x=±i.由图象可知，/U),g(x)的图象均过点(1,1)和(一1,1).所以(i)当x>l或xV—1时，/(x)>g(x);(ii)当x=1或x=—1时，fix)=g(x);(iii)当一lVxVl且xHO时，/(x)Vg仗).I规律方法I1.無函数的图象有以下特点：(1)恒过点(1,1),且不过第四象

13、限.(2)当么>0时，幕函数的图象在(0,+8)上都是增函数；当么V0时，幕函数的图象在(0,+8)上都是减函数.(3)在第一象限内，直线x=l的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小.2.幕函数y=xa在第一象限内图象的画法(1)当aVO时，其图象可以类似y=x~i画出；(2)当01时，其图象可以类似y=x2画出.本例(2)中若定义/i(x)=f(x),f(x)Wg(x),(、求函数"(X)的最大值£(X),f