高一数学人教A版必修1学案：课堂探究32函数模型及其应用第1课时含解析

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1、课堂探究探究一一次或二次函数模型的应用应用一次函数与二次函数的有关知识，可解决生产、生活实际中的最大（小）值的问题.解答时需遵循的基本步骤是：（1）反复阅读理解，认真审清题意；（2）依据数量关系，建立数学模型：（3）利用数学方法，求解数学问题；（4）检验所得结果，译成实际答案.【典型例题1】某公司生产一种电子仪器的固定成本为2（）000元，每生产一台仪器需增加投入100元，己知总收益满足函数：400x--x2,0400,⑴

2、将月利润表示为月产量的函数7W・（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）思路分析：由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x:②收益函数为一分段函数.解答本题可由已知总收益=总成本+利润，知利润=总收益一总成本.由于R（兀）为分段函数，所以./（兀）也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题.解：（1）设每月产量为X台，则总成本为20000+100%,从而、心）=一丄x2+300x-20000,040

3、0.（2）当0WxW400时,.心）=一丄（兀一300）2+25000,2・••当x=300时，有最大值25000；当x>400时，/（x）=60000-100^是减函数.沧）V60000-IOOX4OO<25000.・•・当x=300时，人兀）的最大值为25000.・••每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.探究二指数函数模型的应用递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“

4、单位时间”内比它在“前单位吋间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位吋间内的值比较.具体分析问题时，应严格计算并写出前3〜4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后,再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题.【典型例题2】截止到2013年底，我国人口约为13.71亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%,经过兀年后，我国人口为y亿.(1)求y与X的函数关系式y=J(x)；(2)求函数y=J(x)的定义域；(3)判断函数几Q是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义.思路分析：解答本题先根据增长率

5、的意义，列出y与兀的函数关系式，然后再求解相应问題.解：(1)2013年底人口数:13.71亿.经过1年，2014年底人口数：13.71+13.71X1%=13.71X(l+1%)(亿).经过2年，2015年底人口数：13.71X(1+1%)+13.71X(1+1%)X1%=13.71X(1+1%)%亿).经过3年，2016年底人口数：13.71X(1+1%)2+13.71X(1+1%)2X1%=13.71X(l+l%f(亿).•••・・・经过的年数与(1+1%)的指数相同.・•・经过兀年后人口数为

6、13.71X(1+1%)"(亿).・・・y=ya)=13.71X(l+l%『・(2)理论上指数函数定义域为R.・・・此问题以年作为时间单位，・・・｛川eN*｝是此函数的定义域.(3)y=/U)=13.71X(1+1%/.Vl+l%>l,13.71>0,・・・y=/W=13.71X(1+1%)”是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长.规律总结1.本题涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为y=N.(l+pF(其中N为原来的基础数，卩为增长率，x为时间)

7、的形式.2.在实际中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型.探究三对数函数模型的应用直接以对数函数为模型的应用问题不是很多.此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解.【典型例题3］燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数e=51og2舊，单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？思路分析：由题意可知飞行速度是耗氧

8、量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可.解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0,代入题目所给公式可得0=51og2舊，解得0=10,即燕子静止时的耗氧量为10个单位.即当一只燕子耗氧量为80(2)将耗氧量2=80代入公式得y=51og2—=51og28=15(m/s),80个单位时,速度为15m/s.探究四易错分析易错点因对图形信息理解不准确导致解答错误【典型例题4】已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动，其位移y(km)和运动时