高一数学人教A版必修1学案：课堂探究12函数及其表示第1课时含解析

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1、课堂探究探究一函数的概念1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断，即A,B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.2.函数的定义中“任一个数兀”与“有唯一确定的数/(%)”说明函数中变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能“一对多”.【典型例题1】下列对应关系是否为A到3的函数.(1)A=R,B={4r>0},/：兀一y=

2、兀I；(2)A=Z,B=Z,/：Ly=”・解：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数.(2)对于集合A

3、中的任意一个整数兀，按照对应关系/:在集合B中都有唯一一个确定的整数/与其对应，故是集合A到集合B的函数.【典型例题2】下列式子能否确定)，是x的函数？(1)x2+/=4；(2)y=Jx_3+x.解：⑴由异+>2=4,得),=±丁4一兀2.当兀=1时，对应的y值有两个，故y不是兀的函数.f3>0,(2)因为不等式组{的解集是0,即兀取值的集合是0,故y不是x的函数.[2—x>0探究二求函数的定义域函数的定义域是自变量兀的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义

4、的x的取值范闱，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约.求函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果几Y)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果沧)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果/(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果/U)是由儿个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).函数的定义域要用集合或区间表示.【典型例题3】(1)求函数)=三一a/H二的定义域；x-1（2）已知

5、函数y=心）的定义域为［一1,1］，求函数y=/（x—5）的定义域.思路分析：分析所给函数的表达式一列不等式组

6、一求x的范围，得定义域X~lH0,解：（1）要使函数有意艾，自变量兀的取值需满足{,解得兀2—1,且兀H1,l+x>0,即函数的定义域是{兀*$—1,且xHl}・（2）・・・y=/W的定义域为［-1,1］,.•.―1W兀一5W1,即4因此）=几丫一5）的定义域为［4,6］.方法总结⑴若已知7U）的定义域（a,b）,求怒（兀））的定义域,可由a

7、上的值域为>U）的定义域.探究三判断函数相等判断两个函数./（兀）和gCr）是否相等的方法是：先求函数./U）和g（x）的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等；如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等.【典型例题4】判断下列各组函数是否是相等函数：兀2_4（1yw=乳+2,&⑴=——；x-2（2）心）=（兀一1）2,g（X）=Ll;（3y（x）=x2+x+l,g（t）=t2+t+l.思路分析：先求岀定义域，根据定义域和表达式（即对应关系）来确定.解：（1笊兀）的定义域为R,g

8、（兀）的定义域为{xx^2}.由于定义域不同，故函数夬兀）与g（Q不相等.（2笊兀）的定义域为R,g（x）的定艾域为R,即定义域相同.由于./U）与g（兀）的表达式不相同，故函数f{x）与g（兀）不相等.（3）两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故两个函数相等.探究四求函数值1.已知7U）的表达式吋，只需用Q替换表达式中的所有兀即得人。）的值.2.求人g@））的值应遵循由内到外的原则.3.用来替换表达式中x的数。必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.【典型例题5］己知/（兀）=—,g（x）=兀+2（xWR

9、）.14-X⑴求夬2）,g（2）的值;（2）求几如3））的值；(1)求g(a+l)・思路分析:(1)分别将X兀)与g(x)的表达式中的兀换为2,计算得夬2)与g⑵;(2)先求g(3)的值m,再求/⑷)的值."2)=11+22又•••g(x)=x+2,・・叨(2)=2+2=4・,11⑵・.理⑶=3+2=5,•••■心(3))=/(5)=^^=二1+5〜26(3)g(d+l)=d+1+2=d+3・探究五易错辨析易错点求函数的定义域时先化简函数的关系式【典型例题6】求函心洋誥的定义域.错解：要使函数y=—―=尤+1有意义,则xH—3.

10、'(x-2)(%4-3)x+3故所求函数的定义域为—3}.错因分析：约分扩大了自变量的取值范国.由于同时约去了函数中分子、分母的公因式r4-1“兀一2”，使原函数变形为)=,从而改变了原函数的自变量x的取值范围，也就是兀+3卅7轨(兀一2)(兀+1)a了轨兀+1