选修2-2《导数及其应用》题型总结

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《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构°导数的概念＞导数的运算»导数的儿何意义、物理意义I―常见函数的导数I—►导数的运算法则—►函数的单调性＞导数的应用＞―►函数的极值——►函数的最值题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例1.(1)设函数/(兀)在%=2处可导，且厂(2)=1,求lim/(2+力)7(2-力)力to2h(2)/*(兀)=2兀sin(2兀+5),求广(兀)(3)已知f(x)=x(x+1)(%+2)•••(x4-2008),求/z(0).考点二导数的几何意义与物理意义的应用例2:已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(l,1),且在点Q(2,・1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值例3：已知曲线尸丄八十仝⑴求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.33例4：已知物体运动的位移S与时间f关系为s(t)=r-2/+1,则t=i时物体的速度与加速度分别为,题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1如果函数y=f(x)的图象如图，那么导函数y=f(x)的图彖可能是() 例1求函数歹=兀4-2/+5的单调区间.(不含参函数求单调区间)例2已知函数。工0),求夬兀)的单调区间.(含参函数求单调区间)练习:求函数f(x)=x+-的单调区间。X例3若函数f(x)=x$—ax2+1在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围.(单调性的逆向应用)练习1：已知函数/(X)=lax-xxG(0,1],«>0,若/(兀)在(0,1]上是增函数，求d的取值范围。2.设a>(),函数/O)=F-ar在(1,+8)上堤单调递增函数，求实数a的取值范围。3.已知函数^x)=ax3+3x2-x+l在R上为减函数，求实数a的取值范围。总结：已知函数y=/(x)在(d,b)上的单调性，求参数的取值范围方法：1、利用集合间的包含关系2、转化为恒成立问题(即.厂⑴或厂(x)50)(分离参数)3、利用二次方程根的分布(数形结合)例4求证sinx1,证明x>ln(1+x). 题型三函数的极值与最值考点一利用导数求函数的极值。例1求下列函数的极值：(l)f(x)=x+£；⑵俭)=也屮.(不含参函数求极值)例2设a>0,求函数f(x)=x2+7(x>1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值.(含参函数求极值)例3设函数f(x)=|x3+bx2+ex+d(a>0),且方程f'(x)—9x=0的两个根分别为1,4.若伽在(一8,+8)内无极值点，求a的取值范围.(函数极值的逆向应用)例4已知函数f(x)=x3-3ax-1,aHO.(利用极值解决方程的根的个数问题)(1)求f(x)的单调区间；⑵若f(x)在x=—1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围. 题型四函数的最值例I求函数用)=磊，山-2,2］的最大值与最小值。(不含参求最值)例2已知函数f(x)=ax3—6ax2+b,试问是否存在实数a、b,使f(x)在［—1,2］上取得最大值3,最小值一29,若存在，求出“，b的值；若不存在，请说明理山.(最值的逆向应用)例3已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2—x+2.(1)求函数f(x)的单调区间.⑵若对任意xE(O,+<-),2f(x)Wg‘(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.(利用极值处理恒成立问题)练习1已知/(无)=F—护一2x+5,当用［—1,2］时，/(兀)S恒成立，求实数加的取值范围。(2)/U)=6Z?—3x+1对于兀丘［一1,1血有>U)20成立，贝几=. 二、知识点1、函数/(兀)从西到勺的平均变化率：勺一X］2、导数定义：/(X)在点无。处的导数记作=厂気)=恤/仇+3)-/缶).I*r,)心toAx3、函数y=f(x)在点观处的导数的几何意义是曲线尸/(兀)在点P(xo〃(x。))处的切线的斜率.4、常见函数的导数公式：①C=0；②(xa)=axa~x；③(sinx)=cosx；④(cosx)=-sinx；⑤(czA)=axInez；@(eA)=ex:⑦(log“兀)=—!—；⑧(lnx)=丄xxax5、导数运算法则：(1)[/⑴士=广(X)士Q(x).(2)[/(x)・g(x)]'=/©)g(x)+/(兀)g©)/(兀)广(兀)&(兀)-/(兀)g©)(3)川兀).「M)]26、在某个区间仏方)内，若厂(兀)>0,则函数y=/(x)在这个区间内单调递增;若厂(x)v0,则函数y=/(兀)在这个区间内单调递减.7、求解函数y=/(x)单调区间的步骤:(1)确定函数y=/(x)的定义域；(2)求导数y=/(X)；(3)解不等式/W>0,解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式/(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.8、求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程fx)=0.当广(勺)=0时：⑴如果在兀。附近的左侧/(%)>0,右侧/(%)<0,那么/(兀°)是极大值；(1)如果在兀)附近的左侧/©)<(),右侧/©)>0,那么/(兀°)是极小值.9、求解函数极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域(2)求函数的导数f'(x)(2)求方程F(x)=0的根(3)用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若T个开区间，并列成表格(4)由F(x)在方程F(x)=0的根左右的符号，來判断f(x)在这个根处取极值的情况10、求函数y=f(x)在［a9b］上的最大值与最小值的步骤是：(1)求函数y=/(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.