2018-2019学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法练习（含解析）新人教A版选修4-5

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1、三　反证法与放缩法一、选择题1.设M=+…+,则(　　)A.M=1B.M<1C.M>1D.M与1大小关系不确定解析:分母全换成210,共有210个单项.答案:B2.设x>0,y>0,A=,B=,则A与B的大小关系为(　　)A.A≥BB.A=BC.A>BD.A0,y>0,∴A==B.答案:D3.用反证法证明“如果a>b,那么”的假设内容应是(　　)A.B.C.D.答案:D4.已知a,b∈R+,下列各式中成立的是(　　)A.cos2θlga+sin2θlgblg(a+b)C.=a+b-6-D

2、.>a+b解析:cos2θlga+sin2θlgbb与ab与a

3、时a=b=c,与已知矛盾,故a>b与a

4、f(x1)-f(x2)

5、<

6、x1-x2

7、,求证:

8、f(x1)-f(x2)

9、<.那么它的假设应该是　　　　　. 答案:

10、f(x1)-f(x2)

11、≥7.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的　　　　　条件. 解析:必要性是显然成立的;

12、当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.答案:充要-6-8.设a,b∈R,0≤x≤1,0≤y≤1,求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x,y,使

13、xy-ax-by

14、≥成立.解：证明:假设对一切0≤x≤1,0≤y≤1,结论不成立,则有

15、xy-ax-by

16、<.令x=0,y=1,有

17、b

18、<.令x=1,y=0,有

19、a

20、<;令x=y=1,得

21、1-a-b

22、<.这与

23、1-a-b

24、≥1-

25、a

26、-

27、b

28、>1-矛盾,故假设不成立,原命题结论正确.9.已知数列{bn}

29、是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设数列{an}的通项an=loga(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.解:(1)设数列{bn}的公差为d,由题意,得∴b1=1,d=3.∴数列{bn}的通项公式为bn=3n-2.-6-(2)当a>1时,Sn>logabn+1(n∈N+);当0

30、n+1=loga.∴比较Sn与logabn+1的大小,即比较×…×的大小.记An=×…×,Bn=.∵>1,∴对任意n∈N+,都有>0.∴,-6-从而×…××…×=3n+1=.∴An>Bn(n∈N+).由对数的单调性,可得当a>1时,Sn>logabn+1(n∈N+);当00,y>0,且x+y>2,试证:中至少有一个小于2.解：证明:假设都不小于2,即-6-≥2,且≥

31、2.因为x>0,y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x.把这两个不等式相加,得2+x+y≥2(x+y),从而x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.因此,都不小于2是不可能的,即原命题成立.-6-