2018-2019学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法练习 新人教A版选修4-5

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1、三反证法与放缩法,　　　　　　　　[学生用书P34])[A　基础达标]1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　)①与结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②　　B．①②④C．①②③D．②③解析：选C.由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．2．已知a，b，c是互不相等的非零实数．若用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异

2、实根，应假设成(　　)A．三个方程都没有两个相异实根B．一个方程没有两个相异实根C．至多两个方程没有两个相异实根D．三个方程不都没有两个相异实根解析：选A.命题“三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根”的否定为“三个方程都没有两个相异实根”，故选A.3．实数a，b，c满足a＋2b＋c≥2，则(　　)A．a，b，c都是正数B．a，b，c都大于1C．a，b，c都小于2D．a，b，c中至少有一个不小于解析：选D.假设a，b，c均小于，则a＋2b＋c<＋1＋，与已知矛盾

3、，所以假设不成立，故a，b，c中至少有一个不小于.4．已知△ABC中，∠C＝90°，则的取值范围是(　　)A．(0，2)B．(0，]C．(1，]D．[1，]解析：选C.因为∠C＝90°，所以c2＝a2＋b2，即c＝.又有a＋b>c，所以1<＝≤＝.5．设a>b>0，则a＋＋的最小值为(　　)A．B．3C．D．4解析：选D.因为a>b>0，所以a－b>0，所以a＋＋＝(a－b)＋＋＋b≥4＝4，当且仅当a－b＝＝＝b，即a＝2且b＝1时取等号，所以a＋＋的最小值为4.故选D.6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过

4、程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②7．若f(x)＝，a，b都为正数，A＝f，G＝f()，H＝f，则A、G、H的大小关系是________．解析：因为a，b为正数，所以≥＝≥＝，且f

5、(x)＝为单调减函数，所以f≤f()≤f，所以A≤G≤H.答案：A≤G≤H8．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)．如果对于不同的x1，x2∈[0，1]都有

6、f(x1)－f(x2)

7、<

8、x1－x2

9、.求证：

10、f(x1)－f(x2)

11、<，那么他的反设应该是________________________________．解析：对任意x1，x2∈[0，1](x1≠x2)都有

12、f(x1)－f(x2)

13、<的反面是存在x1，x2∈[0，1]且x1≠x2有

14、f(x1)－f(x2)

15、≥.答

16、案：存在x1，x2∈[0，1]且x1≠x2使

17、f(x1)－f(x2)

18、≥9．若n是大于1的自然数，求证：＋＋＋…＋<2.证明：因为<＝－，k＝2，3，…，n(n∈N＋)，所以＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝2－<2，所以＋＋＋…＋<2.10．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0，1]，求证：

19、f(a)－f(b)

20、≤

21、a－b

22、.证明：

23、f(a)－f(b)

24、＝

25、a2－a－b2＋b

26、＝

27、(a－b)(a＋b－1)

28、＝

29、a－b

30、

31、a＋b－1

32、因为0≤a≤1，0≤b≤1，所以0≤a＋b≤2，－1≤a＋b－1≤1，

33、a＋b－1

34、≤1.

35、所以

36、f(a)－f(b)

37、≤

38、a－b

39、.[B　能力提升]1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)A．[0，]B．[－2，2]C．[－，]D．[－2，2]解析：选D.令a＝cosθ，b＝sinθ，则a－b＝cosθ－sinθ＝2＝2cos.因为cos∈[－1，1]，所以a－b∈[－2，2]．2．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________．解析：A＝1＋＋＋…＋≥＝＝.答案：A≥3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且当0

40、，f(x)>0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明：>c.证明：(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，所以f(x)＝0有两个不等实根，不妨设为x1，x2，因为f(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的一个根．又x1x2＝，所以x