2018-2019高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法教案 新人教A版选修4-5

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1、2.3反证法与放缩法一、教学目标1．掌握用反证法证明不等式的方法．2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．二、课时安排1课时三、教学重点掌握用反证法证明不等式的方法．四、教学难点了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．五、教学过程（一）导入新课若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：<2和<2中至少有一个成立．【证明】　假设<2和<2都不成立，则有≥2和≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与

2、已知条件x＋y>2矛盾，因此<2和<2中至少有一个成立．（二）讲授新课教材整理1　反证法先假设，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)的结论，以说明不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．教材整理2　放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．（三）重难点精讲题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题例1已知f(x)＝x2＋

3、px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)

4、f(1)

5、，

6、f(2)

7、，

8、f(3)

9、中至少有一个不小于.【精彩点拨】　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】　(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设

10、f(1)

11、，

12、f(2)

13、，

14、f(3)

15、都小于，则有

16、f(1)

17、＋2

18、f(2)

19、＋

20、f(3)

21、＜2.

22、(*)又

23、f(1)

24、＋2

25、f(2)

26、＋

27、f(3)

28、≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，∴

29、f(1)

30、＋2

31、f(2)

32、＋

33、f(3)

34、≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．故

35、f(1)

36、，

37、f(2)

38、，

39、f(3)

40、中至少有一个不小于.规律总结：1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的

41、条件，否则将无法推出矛盾．[再练一题]1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．【证明】　a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数．即a，b，c，d中至多有三个是非负数.题型二、利用放缩法证明不等式例

42、2已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.【精彩点拨】　针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．【自主解答】　∵当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，∴＝＜＝·＝，∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－＜，即＋＋…＋＜.规律总结：1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策

43、略．[再练一题]2．求证：1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．【证明】　∵k2＞k(k－1)，∴＜＝－(k∈N＋，且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得＜＝1－，＜＝－，…，＜＝－.因此1＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝1＋1－＝2－.故不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．题型三、利用反证法证明不等式例3已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.【精彩点拨】　本题中的条件是三边间的关系＝＋，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反

44、证法证明．【自主解答】　∵a，b，c的倒数成等差数列，∴＝＋.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b＞a＞0，b＞c＞0，∴＜，＜，∴＜＋，这与＝＋相矛盾．∴假设不成立，故∠B＜90°成立．规律总结：1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．[