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时间:2019-11-16
《2018-2019学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法练习 新人教A版选修4-5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、三反证法与放缩法, [学生用书P34])[A 基础达标]1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用( )①与结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论.A.①② B.①②④C.①②③D.②③解析:选C.由反证法的推理原理可知,反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理,同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等.2.已知a,b,c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异
2、实根,应假设成( )A.三个方程都没有两个相异实根B.一个方程没有两个相异实根C.至多两个方程没有两个相异实根D.三个方程不都没有两个相异实根解析:选A.命题“三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根”的否定为“三个方程都没有两个相异实根”,故选A.3.实数a,b,c满足a+2b+c≥2,则( )A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c中至少有一个不小于解析:选D.假设a,b,c均小于,则a+2b+c<+1+,与已知矛盾
3、,所以假设不成立,故a,b,c中至少有一个不小于.4.已知△ABC中,∠C=90°,则的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,]C.(1,]D.[1,]解析:选C.因为∠C=90°,所以c2=a2+b2,即c=.又有a+b>c,所以1<=≤=.5.设a>b>0,则a++的最小值为( )A.B.3C.D.4解析:选D.因为a>b>0,所以a-b>0,所以a++=(a-b)+++b≥4=4,当且仅当a-b===b,即a=2且b=1时取等号,所以a++的最小值为4.故选D.6.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过
4、程归纳为以下三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列为________.解析:由反证法证明的步骤知,先反设即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②.答案:③①②7.若f(x)=,a,b都为正数,A=f,G=f(),H=f,则A、G、H的大小关系是________.解析:因为a,b为正数,所以≥=≥=,且f
5、(x)=为单调减函数,所以f≤f()≤f,所以A≤G≤H.答案:A≤G≤H8.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1).如果对于不同的x1,x2∈[0,1]都有
6、f(x1)-f(x2)
7、<
8、x1-x2
9、.求证:
10、f(x1)-f(x2)
11、<,那么他的反设应该是________________________________.解析:对任意x1,x2∈[0,1](x1≠x2)都有
12、f(x1)-f(x2)
13、<的反面是存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2有
14、f(x1)-f(x2)
15、≥.答
16、案:存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2使
17、f(x1)-f(x2)
18、≥9.若n是大于1的自然数,求证:+++…+<2.证明:因为<=-,k=2,3,…,n(n∈N+),所以+++…+<+++…+=+++…+=2-<2,所以+++…+<2.10.设f(x)=x2-x+13,a,b∈[0,1],求证:
19、f(a)-f(b)
20、≤
21、a-b
22、.证明:
23、f(a)-f(b)
24、=
25、a2-a-b2+b
26、=
27、(a-b)(a+b-1)
28、=
29、a-b
30、
31、a+b-1
32、因为0≤a≤1,0≤b≤1,所以0≤a+b≤2,-1≤a+b-1≤1,
33、a+b-1
34、≤1.
35、所以
36、f(a)-f(b)
37、≤
38、a-b
39、.[B 能力提升]1.若a,b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是( )A.[0,]B.[-2,2]C.[-,]D.[-2,2]解析:选D.令a=cosθ,b=sinθ,则a-b=cosθ-sinθ=2=2cos.因为cos∈[-1,1],所以a-b∈[-2,2].2.A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________.解析:A=1+++…+≥==.答案:A≥3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且当040、,f(x)>0.(1)证明:是函数f(x)的一个零点;(2)试用反证法证明:>c.证明:(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)=0有两个不等实根,不妨设为x1,x2,因为f(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的一个根.又x1x2=,所以x
40、,f(x)>0.(1)证明:是函数f(x)的一个零点;(2)试用反证法证明:>c.证明:(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)=0有两个不等实根,不妨设为x1,x2,因为f(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的一个根.又x1x2=,所以x
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