2019秋高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法练习（含解析）新人教A版

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1、2.3反证法与放缩法A级　基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)A.＝　　　　　　　B.＜C.＝，且＜D.＝或＜解析：应假设≤，即＝或＜.答案：D2．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为(　　)A．a，b，c，全不为0B．a，b，c至少有一个为0C．a，b，c至少有一个不为0D．a，b，c至多有一个不为0解析：“a，b，c全为0”的否定是“a，b，c至少有一个不为0”．答案：C3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋

2、(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的命题个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．答案：C4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小

3、于2D．都大于2解析：因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.答案：C5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则(　　)A．M≥NB．M≤NC．M＞ND．M＜N解析：依题设，1－a，1－b，1－c均大于0，又a＋b＋c＝1，所以≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，所以(1－a)(1－b)(1－c)≤，从而≥(1－b)(1－c)＝(a＋c)(a＋b)，所以M≥N，当且仅当a＝

4、b＝c＝时，等号成立．答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先假设即③，再推出矛盾即①，最后做出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②7．lg9·lg11与

5、1的大小关系是________．解析：因为＜＝＜＝1，所以lg9·lg11＜1.答案：lg9·lg11＜18．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．解析：因为210＋1＞210，210＋2＞210，…，211－1＞210，所以M＝＋＋＋…＋答案：M＜1三、解答题9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.证明：(反证法)设≥2，≥2，则由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．所以，中至少有一个小于2.10．已知n∈N*，求证：＋＋…＋＜.证明

6、：由基本不等式，得＜＝，所以＋＋…＋＜＋＋…＋＝＝＝＜，故原不等式成立．B级　能力提升1．(2018·浙江卷)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若a1>1，则(　　)A．a1a3，a2a4D．a1>a3，a2>a4解析：构造不等式lnx≤x－1，则a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，所以a4＝a1·q3≤－1.由a1>1，得q<0.若q≤－1，则ln(a1

7、＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)·(1＋q2)≤0.又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾．因此－10，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，所以a1>a3，a2

8、＝2，an＋1＝2·an(n∈N*)，(1)求a2，a3并求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<.(1)解：因为a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N*)，所以a2＝2·a1＝16，a3＝2·a2＝72.又因为＝2·，n∈N*，所以为等比数列，所以＝·2n－1＝2n，所以an＝n2·2n.(2)证明：cn＝＝，所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋<＋＋＋·＝＋·<＋·＝＋＝＝<＝，所以不等式得证．