2017天津市大学数学竞赛试题解答(经管类)

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1、2017年天津市大学数学竞赛试题解答（经管类）一.填空题（本题15分，每小题3分）12ennee1.lim()e1.n12n1nnnn121212eneneeneneenene解：n1112nnnnnn121111tnnnntt1teeeeente()ete(1e)limlimlimlime11tnnent0(1)t0tne(1n)1212enenenenenelimlime1nnn11nn两边夹法则，即得.sinxxln(1)2.lim2.x01cos1

2、cosx112解：1cos1cosx（1cos)xxx,0241cosxsinxln(1x)sinxln(1x)1+xlim4lim4lim2x01cos1cosxx0xxx021sinx2(1+)x=4lim2x022x11+x3.lim=e，则=-1.xxe2x1211+xln1+1xxx2ln1+xex解：显然0，lim=limlimexxxeexx121tln1+ttlim[xxln1+]xlimxxt0t22e

3、ee.故1.经管类Page12(50)250!4.设函数fx()（1x)arctanx，则f(0)=.493nx(1)2nn121解：由Taylor公式，arctan=xxxox()32n13n22x(1)2nn121fx()（12xx)arctanx（12xx)(xxox())32n1()nff（00）（）nn又fx()f(0)xxox()1！n！(50)50f（02）(50)250!比较x的系数，故有=，得f（0=）.50！4949x-xx21t5.已知0xft(xdt)0tftdt()0edt，则0

4、fxdx()e.x-xx2t解：x0ft(xdt)0tftdt()0edt，利用换元积分法，可得x-xx2tx0fudu()0tftdt()0edt，两边对x求导，得x21xfudu()e，从而fudu()e.00二.选择题（本题15分，每小题3分）1.设函数fx()在（-,+）上连续，则以下结论不正确的是（）x(A)若fx()为偶函数，则fxdx()为奇函数0x(B)若fx()为奇函数，则fxdx()为偶函数0x(C)若fx()为TT(0)周期函数，则fxdx()为T周期函数0x(D)若fx()为TT(0)周期函数，则fxdx()

5、不一定为T周期函数0解：选（D）xFx()ftdt()，易验证（A）、（B）正确.0xTTxTFxT()ftdt()ftdt()ftdt()00TTxTftdt()ftdt()ftdt()Fx()000经管类Page2xT显然ftdt()为T周期函数ftdt()=0，故选（D）.00()nn(1)2.设函数yfx()满足方程yaxy()axy()'axyax()()0，n210（n1)若fx'()=()fx=f()x0，Vaxfx()(）ax(),则正确的是00010000（）（A）若n为奇数且V0，则x点为极值点;0（

6、B）若n为奇数且V0，则x点为极小点；0（C）若n为偶数且V0，则x点为极值点;0（D）若n为偶数且V0，则x点为极小值点.0解:选（C）.()n由条件可得：当n为偶数，且fx()V0时，fx()在x点取得极00()n值，特别地，fx()V0，fx()在x点取得极大值.003.设fx()在[0,)上连续，且单调非增，对ba0，则一定有（）baba(A)afxdxb()fxdx()(B)afxdx()bfxdx()0000baba(C)afxdxb()fxdx()(D)afxdxb()fxdx()0000解：选（C）xfxdx()0设Fx()

7、,x0.因为fx()在[0,)上连续且单调非增,则由xxxfx()fxdx()fx()f()0积分中值定理，有Fx()0,(0,)x.2xxba当ba0时，Fa()Fb(),即afxdxb()fxdx()，故（C）成立.004.设函数fx()在闭区间[,]ab上可导，且fafb()()0，fafb'()'()0，则（A）存在(,),ab使f()0；不一定存在