2012年天津市大学数学竞赛试题（经管类）.doc

《2012年天津市大学数学竞赛试题（经管类）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2012年天津市大学数学竞赛试题（经管类）一、填空题（共15分，每空3分）1．设，则极限．（）2．设函数连续切不等于，又，则．（）3．半径为的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜，则流出的水量．（）4．设函数可微，且，又设平面区域，则．（）5．设函数在点处二阶可导，且，则．（2）二、单项选择题（共15分，每空3分）1．设函数有连续导数，，则极限（）．(D)（A）（B）（C）（D）2．设函数在点的一个邻域内有定义，且满足，则有（）．(B)（A）在点处不一定可导（B）在点处可导，且（C）在点处可导，且（D）在点处取得极小值3．设连续函数在区间和上的图形分别是直径为1的上

2、半圆周和下半圆周，在区间和上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周（如图所示），如果，那么函数非负的范围是（）．(A)（A）整个（B）仅为（C）仅为（D）仅为4．设函数在区间上连续，且．记，，，则（）．(B)（A）（B）（C）（D）5．设函数在区间上有连续的二阶导数，，并且满足，则（）．（B）（A）（B）（C）（D）三、设（），（），求极限．（本题7分）（，其中）四、设函数由方程确定，且可导，试求的极值．（本题7分）（极大值，无极小值）五、求不定积分．（本题7分）（）六、设是的一个原函数，且，求积分．（本题7分）（，其中）七、求积分，其中为正整数．（本题7分）（，其中）八

3、、设曲线与曲线和曲线的位置如图，是曲线上任一点，过点垂直于轴的直线与曲线和围成图形记为，过点垂直于轴的直线与曲线和围成图形记为．若和分别绕轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线的方程．（本题7分）（）九、设函数满足，并且对于有，证明存在，且．（本题7分）（提示：证明单调增加有上界，用到）十、设函数在区间上可导，且，单调增加，证明不等式．（本题7分）（提示：构造函数，用单调性）十一、一个半径为（）的小球嵌入一个半径为1的大球中，二球的交线恰好是一个半径为的圆周（如图），问当为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？．（本题7分）（，其中）十二、设是以原点和三点为顶

4、点的四面体．（1）将三重积分表示为“先次后”的三次积分；（2）试证明．（本题7分）（，提示：后者的证明将区域分成6个四面体，由对换性得）