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《6市大学数学竞赛试题参考解答(经管类)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2011年天津市大学数学竞赛试题参考解答(经管类)一.填空题（本题15分，每小题3分）:1.设是连续函数,且,则2.设,若则3.4.设是连续函数,且其中由x轴、y轴以及直线围成,则5.二.选择题（本题15分，每小题3分）:1.设则在处(A),(B),(C),(D)不可导.答:(A)2.设函数具有二阶导数,且满足方程已知则(A)在的某个邻域中单调增加,(B)在的某个邻域中单调增少,(C)在处取得极小值,(D)在处取得极大值.答:(C)3.图中曲线段的方程为,函数在区间上有连续的导数,则积分000表示(A)直角三角形AOB的面积,(B)直角三角形AOC的面积,(C)曲边三角形AOB的面
2、积,(D)曲边三角形AOC的面积.答:(D)4.设在区间上的函数且令Page9of9则(A)(B)(C)(D)答:(C)1.设函数连续,且,则取值为(A)(B)(C)(D)答:(B)一.(7分)设函数在点处可微,求极限解由导数的定义和复合函数的求导法则二.(7分)设函数在上二阶可导，且，记，求的导数，并讨论在处的连续性.解由已知的极限知从而有当时,从而有因为Page9of9所以,在处连续.当时,在处,由有所以,而故在处连续.一.000(7分)已知函数的导函数是三次多项式，其图像如下图所示：（Ⅰ）关于函数,填写下表:单调增区间单调减区间极大值点极小值点曲线向下凸区间曲线向上凸区间曲线
3、的拐点（Ⅱ）若还知道的极大值为6，点在曲线上，试求出的表达式.解（Ⅰ）Page9of9单调增区间（-2,0）,单调减区间,(0,2)极大值点0极小值点-2,2曲线向下凸区间曲线向上凸区间曲线的拐点（Ⅱ）设则由得故从而再由得所以一.(7分)设函数在上可导,且满足(Ⅰ)研究在区间的单调性和曲线的凹凸性.(Ⅱ)求极限解(Ⅰ)当时,有故在区间单调增加.从而当时,也单调增加.可见,曲线在区间向下凸.(或当时,可得可见,曲线在区间向下凸.)(Ⅱ)由题设知,应用洛必达法则二.(7分)设在上具有连续导数,且试证证令则在连续,且对,Page9of9又由题设知,当时,令则在上连续,且故有因此于是在上单
4、调增加,取,即得所证结论成立.一.(7分)(Ⅰ)设函数在区间上连续,为偶函数,满足条件(为常数).证明:;(Ⅱ)设其中为正整数,计算定积分.解(Ⅰ)对于上式右边的第一个积分,令有所以(Ⅱ)由于而当时,因此,容易验证,是偶函数.应用(Ⅰ)的结论Page9of9一.(7分)设函数在闭区间上连续,并且对任一,存在使得证明:存在使证法一应用闭区间上连续函数的最值定理,存在,使由题设,对于,存在,使得可见现在证明:事实上,假如由题设,存在,使此与“是在上的最小值”矛盾.综上,得到结论:于是,应用介值定理,存在使证法二任取一个由题设存在使从而存在使如此继续下去,可得数列使Page9of9由于有
5、界无穷数列必有一个收敛的子数列,可设存在一个,使由的连续性,证毕.一.000251662336(7分)设函数具有二阶导数,且直线是曲线上任意一点处的切线,其中记直线与曲线以及直线所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为试问为何值时取得最小值.解切线的方程为即于是可见,在连续,在可导.令,由于在内有唯一的驻点并且,当时,;当时,因此,在处取得最小值.十一.(7分)设（1）闭曲线是由圆锥螺线：，（从0变到）和直线段构成，其中，；（2）闭曲线将其所在的圆锥面划分成两部分，是其中的有界部分.在面上的投影区域为.(Ⅰ)求上以为曲顶的曲顶柱体的体积;(Ⅱ)求曲面的面积.解(Ⅰ)在面上的投影区
6、域为,在极坐标系下表示为:故所求曲顶柱体的体积为000Page9of9(Ⅱ)所在的圆锥面方程为,曲面上任一点处向上的一个法向量为故所求曲面的面积十二.(7分)设圆含于椭圆的内部,且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ)求与满足的等式;(Ⅱ)求与的值,使椭圆的面积最小解(Ⅰ)根据条件可知,切点不在轴上.否则圆与椭圆只可能相切于一点.设圆与椭圆相切于点,则既满足椭圆方程又满足圆方程,且在处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率,即.注意到因此,点应满足由(1)和(2)式,得(4)由(3)式得代入(4)式Page9of9化简得或(5)(Ⅱ)按题意,需求椭圆面积在约束条件(
7、5)下的最小值.构造函数令(6)·a−(7)·b,并注意到,可得.代入(8)式得,故从而由此问题的实际可知,符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当时,此椭圆的面积最小.Page9of9
