湖南大学2012数学竞赛试题解答

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1、班级姓名学号湖南大学(非数学专业类)数学竞赛试卷（2012年）解答考试形式：闭卷考试时间：150分钟一、（每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）xtt(1)0,2dy1.已知函数yyx()由方程组确定，求.y2tey10dx2dxyyyddyy解：xtt，2t1；方程tey10两边同时对t求导，得ete0，即dtddttyyydyeedye.所以，.从而yd1tteyd(xyt21)2yyyyddyyydte2yey2e2ey(2tet1)(21)2ye22yydyddxxxdy

2、t(21)ey(1)(21t)2ye.2222233d(xy2t1)yt(21)yt(21)22.设函数f(,)xy可微，且对任意x,,yt满足f(,)txtytfxy(,),P(1,2,2)是曲面:(zfxy,)上的一点，则0当f(1,2)4时，求在点P处的法线方程.x02解：方程f(,)txtytfxy(,)两边对t求导，得xftxty(,)yftxty(,)2(,).tfxy12将t1代人上式，得xfxyy(,)fxy(,)2(,).fxyxy将xy1,2代人上式，得fff(1,2)2(1

3、,2)2(1,2),即42(1,2)4.fxyy由此得到f(1,2)0.于是在点P处的法线方程为y0xyz122xyz122，即.ff(1,2)(1,2)1401xyx22yzx,022y2223.计算曲面积分f(,,)dxyzS,其中fxyz(,,),是球面xyz1.220,zzxy0与x22yx:1222yzz,0x22y,1222解：将球面分成三个部分123,,，fxyz(,,)0,2:xyz1,z0,；222220

4、,:xyzzxy1,312222在xoy面上的投影是Dx:1y.的方程：zx1y，112湖南大学数学与计量经济学院编班级姓名学号2222ddxy22xyd1Szzdxdy，于是，f(,,)dxyzSxySdddxyxy22221xyD1xy12221r120dd112rr2d1r.221r241b14.设f(x)在]1,0[上连续，且

5、()

6、1,()d0fxfxx，证明对于任意的a,b]1,0[,都有

7、(fxx)d

8、.0a21b1证明1：不妨设ab.若b

9、a,则

10、(fxxf)d

11、

12、()

13、

14、

15、ba;2a21ba11若ba,则

16、(fxx)d

17、

18、(fxx)d

19、

20、(fxx)d

21、

22、f(

23、)a

24、f(1(

25、)b)1(ba).2ab02b1证明2：不妨设ab.假设结论不成立，即ab,[0,1]，

26、(fxx)d

27、，则由积分中值定理，a2b11(,)ab[0,1]，使得

28、(fxxf)d

29、

30、()

31、

32、

33、ba，又

34、()

35、1f，所以，

36、

37、ba.因而，a22bb010ba1

38、f()dxx

39、fxx()dfxx()dfxx()d

40、

41、fxx

42、()dfxx()d

43、

44、fxx()d

45、

46、fxx()d

47、aa01a10b1

48、()

49、

50、()

51、(1)fafb1(ba)，这与假设矛盾.证毕.122ba1证明3：不妨设ab.因为

52、f()d

53、

54、xxfxx()dfxx()d

55、，所以ab0bba11ba12

56、f()

57、xdx

58、f()d

59、

60、xxfxx()dfxx()d

61、

62、()

63、dfxx

64、()

65、dfxx

66、()

67、d

68、

69、()

70、d1fxxfxxaa00bab0b1从而,

71、(fxx)d

72、.a2n122232125.求极限lim4[]dddrxyz,其中rxyz，[r

73、]表示不超过的最大整数，rkn(1n).nnk14rn解1：将[0,]n分成n个区间：[0,1),[1,2),[nn1,)，当rkk[1,)时，[rkk]1,1,2,n.因此nn11nn1443333[]dddrxyz[]dddrxyzkdddxyzkk[(1)k][(1)nnk]rnkk11k11rkkrk33k1k1413221413221[(nnnn1)(1)]，于是lim[]dddrxyzlim[(nn1)nn(1)].44

74、34nn