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1、出卷教师：赵梅春广东金融学院2012年度数学竞赛试题系别___________班级__________学号 ___________姓名__________本试卷共12题，第1-11小题每小题10分，第12小题20分，共130分)：1.广州恒大正试图为亚冠足球票定价.如果每张票价为6百元，则平均每场比赛有70000名观众.每提高1百元，就要从平均人数中失去10000名观众.每名观众还能给俱乐部带来附加的1.5百元消费收入.为使收入最大化，每张票应定价多少？按该票定价，将有多少名观众观看比赛？（假设场馆不受限制）解设每张票应提价的金额(如果是负值,则票价下跌).首先把总收入表示成的函数..为求使最
2、大的先求解方程，得百元.注意到，因为这是唯一的驻点,所以是最大值.因此,为使收入最大化,足球票定价为百元.也就是说，下调后的票价将吸引更多的观众去看球赛，其人数是这将带来最大的收入.2．.设函数在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得.证令，则，由积分中值定理知，存在，使得，即，由罗尔定理知，存在，使得，即，即.3．某出口公司每月销售额是1000000美元,平均利润是销售额的10%.根据公司以往的经验,广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线1000000(t以月为单位)公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为130000美元的广告活动.按惯例,对于超过100000美元的广告活动,如果
3、新增销售额产生的利润超过广告投资的10%,则决定做广告.试问该公司按惯例是否应该做此广告.解由公式知，12个月后的总销售额是当时的定积分，即总销售额=(美元)5出卷教师：赵梅春公司的利润是销售额的10%，所以新增销售额产生的利润是(美元)156000美元利润是由于花费130000美元的广告费而取得的，因此广告所产生的实际利润是(美元)这表明赢利大于广告成本的10%，公司应该做此广告.4．某公司t年净资产有(百万元),并且资产本身以每年5%的速度连续增长,同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.(1)给出描述净资产的微分方程;(2)求解方程,这时假设初始净资产为(3)讨论在三种情况
4、下,变化特点.解(1)利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度得到所求微分方程(2)分离变量，得两边积分，得为正常数），于是或将代入，得方程通解：上式推导过程中当时，知通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中.(3)由通解表达式可知，当百万元时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产；当百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在600百万元不变；当百万元时，公司净资产将按指数不断增大.5．在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥·雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约
5、70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在达到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角和初速度.(假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且0.725)解建立如图所示坐标系,设火箭被射向空中的初速度为米/秒,即,则火箭在空中运动秒后的位移方程为=.5出卷教师：赵梅春火箭在其速度的竖直分量为零时达到最高点,故有,于是可得出当火箭达到最高点1秒后的时刻其水平位移和竖直位移分别为解得：,,从而又(米/秒)所以,火箭的发射角和初速度分别约为和米/秒.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为3,已经它的三个解向量为其中,求该方程组的通解.解依题意,方程组的导出组的基础解系含个向,于是
6、导出组的任何一个非零解都可作为其基础解系.显然是导出组的非零解,可作为其基础解系.故方程组的通解为（C为任意常数）.7．证明证设把用列向量表示为5出卷教师：赵梅春则即的元为因故特别地,有而由（因为实数）得即证毕.8．已知两个向量组与.⑴为何值时，两个向量组等价？⑵两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式.解⑴对矩阵作初等行变换，得，当时，，，可由线性表示，且，，可由线性表示，即两个向量组等价.⑵两个向量组等价时，，故，.9．设随机变量和相互独立，且，试求的概率密度.解且与独立,故和的联合分布为正态分布,和的任意线性组合是正态分布,即5出卷教师：赵梅春即的概率密度是10．设是取自总体一个简单随
7、机样本，的概率密度为，⑴求未知参数的矩估计量；⑵求未知参数的最大似然估计量.解⑴，令，所以的矩估计为.⑵似然函数，，解得，，所以的最大似然估计为.11．水泥厂用自动包装机包装水泥,每袋额定重量是50kg,某日开工后随机抽查了9袋,称得重量如下:49.649.350.150.049.249.949.851.050.2设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常解(1)建立假设(2)选择统计量(3)对
