资源描述：
《2019版高中数学人教B版选修4-5：第三章 数学归纳法与贝努利不等式 检测 含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章检测(时间:90分钟 满分:100分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.用数学归纳法证明当n∈N*时,1+2+22+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为( ) A.1B.1+2C.1+2+3+4D.1+2+22+23+24解析:原式=1+2+22+…+25n-1,当n=1时,原式=1+2+…+25×1-1=1+2+22+23+24.答案:D2.用数学归纳法证明11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=nn+1(n∈N*)时,从“n=k”到“n=k+1”,等式左边需增添的项是( )A.1k(k+1)B.1k(k+1)+1
2、(k+1)(k+2)C.1(k+1)(k+2)D.1k(k+2)答案:C3.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证明当n=k+1时的情况,只需展开( )A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析:假设n=k时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=(k+1)3+(k+2)3+(k3+3k2×3+3k×32+33)=k3+(k+1)3+(k+2)3+(9k2+27k+27),故只需展开(k+3)3即可.答案:A4.若不等式(
3、-1)na<2+(-1)n+1n对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是( )A.-2,32B.-2,32C.-3,32D.-3,32答案:D5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.则下列命题总成立的是( )A.若f(3)≥9成立,则当k≥1,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)4、出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A错误.对于选项B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.对于选项C,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C错误.对于选项D,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立.故选D.答案:D6.用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n-1>12764成立,起始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10解析:原不等式可化为1-12n1-12>12764,即21-12n>12764,即2-12n-1>12764,所以2-12764>12n-1,即164>12n-1,即126>12n-1,故26<2n-1,即n-1>6
5、,故n>7,所以n最小取8.答案:B7.上一个n层的台阶,若每次可上一层或两层,设所有不同上法的总数为f(n),则下列猜想正确的是( )A.f(n)=nB.f(n)=f(n)+f(n-2)C.f(n)=f(n)·f(n-2)D.f(n)=n,n=1,2f(n-1)+f(n-2),n≥3解析:分别取n=1,2,3,4验证.答案:D8.设0<θ<π2,已知a1=2cosθ,an+1=2+an,则猜想an=( )A.2cosθ2nB.2cosθ2n-1C.2cosθ2n+1D.2sinθ2n答案:B9.用数学归纳法证明:当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除,第二步的假设应写成(
6、 )A.假设当n=k(k为正奇数)时命题正确,再推证当n=k+1时命题正确B.假设当n=2k+1(k∈N*)时命题正确,再推证当n=2k+2时命题正确C.假设当n=2k+1(k∈N*)时命题正确,再推证当n=2k+3时命题正确D.假设当n=2k-1(k∈N*)时命题正确,再推证当n=2k+1时命题正确答案:D10.用数学归纳法证明12+cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=sin2n+12α·cos2n-12αsinα(α≠kπ,k∈Z,n∈N*),在验证当n=1时,左边计算所得的项是( )A.12B.12+cosαC.12+cosα+cos3αD.12+cosα+
7、cos2α+cos3α解析:首项为12,末项为cos(2×1-1)α=cosα,故选B.答案:B二、填空题(每小题5分,共25分)11.在数列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,则S2,S3,S4分别为 ,猜想Sn= . 答案:32,74,158 2n-12n-112.探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的结果时,第一步当n= 时,A= . 解析:∵n>1,且n∈N
