2019年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式综合检测 新人教B版选修4-5

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1、2019年高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式综合检测新人教B版选修4-5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设S(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋【解析】　S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋.【答案】　D2．数列an中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后

2、，猜想an的表达式是(　　)A．3n－2　B．n2C．3n－1D．4n－3【解析】　计算知a1＝1，a2＝4,a3＝9，a4＝16，∴可猜想an＝n2.【答案】　B3．平面内原有k条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　)A．f(k)＋1B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D．k·f(k)【解析】　第k＋1条直线与前k条直线都有不同的交点，此时应比原先增加k个交点．【答案】　B4．下列代数式，n∈N＋，能被13整除的是(　　)A．n3＋5nB．34n＋1＋52n＋1C．62n－1＋1D．42n＋1＋3n＋2【解析】　当n＝1时，n3＋5n＝6,34n＋

3、1＋52n＋1＝368,62n－1＋1＝7,42n＋1＋3n＋2＝91.只有91能被13整除．【答案】　D5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)A．k2B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】　当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.【答案】　D6．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为(　　)A

4、．12B．13C．14D．不存在【解析】　令f(n)＝＋＋…＋易知f(n)是单调递增的．∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.依题意>，∴m<14.因此取m＝13.【答案】　B7．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋<2－B．1＋＋<2－C．1＋<2－D．1＋＋<2－【解析】　∵n≥2，第一步应是n＝2时，1＋<2－.【答案】　A8．设n∈N＋，则4n与3n的大小关系是(　　)A．4n>3nB．4n＝3nC．4n<3nD．不确定【解析】　4n＝(1＋3)n.根据贝努利不等式，有(1＋3)n≥1＋n×3＝1＋3n>3n，即4n>3n.【

5、答案】　A9．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为(　　)A．2f(k)B．k－1＋f(k)C．f(k)＋kD．f(k)＋2【解析】　由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n＝k＋1时增加的对角线的条数一样，设底面为A1A2…Ak，n＝k＋1时底面为A1A2A3…AkAk＋1，增加的对角线为A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有k－1条，因此，对角面也增加了k－1个．【答案】　B10．用数学归纳法证明＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(α≠kπ，k∈Z，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是

6、(　　)A.B.＋cosαC.＋cosα＋cos3αD.＋cosα＋cos2α＋cos3α【解析】　首项为，末项为cos(2×1－1)α＝cosα.【答案】　B11．如果命题P(n)对于n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)A．P(n)对所有自然数n成立B．P(n)对所有偶自然数n成立C．P(n)对所有正自然数n成立D．P(n)对所有比1大的自然数n成立【解析】　因为n＝2时，由n＝k＋2的“递推”关系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次类推，因此，命题P(n)对所有的偶自然数n成立．【答案】　B12．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(

7、2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)A.B.C.D.【解析】　∵a1＝，由Sn＝n(2n－1)an得，a1＋a2＝2(2×2－1)a2，解得a2＝＝，a1＋a2＋a3＝3×(2×3－1)a3，解得a3＝＝，a1＋a2＋a3＋a4＝4(2×4－1)a4，解得a4＝＝.【答案】　C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)13．探索表达式A