﹡数学活动 平面镶嵌

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1、数学活动——平面镶嵌有些地板的拼合图案如下图所示。用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖。观察以下图案分别是由哪些几何图形组成的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）用形状相同或不同的平面封闭图形把平面的一部分(如地面、墙面)既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。今天我们就来研究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并探究为什么会出现这种结果。一、一种正多边形的镶嵌（如图（1）、（2）、（3）、（5）、（6））1、正多边形的顶点在另一个正多边形的边上（如图（3）、（6））2、顶点与顶点重合的情形（如图（1）、（2

2、）、（4）、（5））什么样的正多边形可以用来镶嵌呢?(1)正三角形的平面镶嵌(2)正方形的平面镶嵌(3)正六边形的平面镶嵌要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点处的所有内角的和为360度。只用一种正多边形进行镶嵌，设正多边形的边数为n，个数为k，①若顶点重合，则有∴==2+∵n≥3，且n、k为正整数3∴k-2为4的正约数∴k-2=4或k-2=2或k-2=1∴或或②如果一块正多边形的顶点落在另一块的边上，则有∴==2+∵n≥3，且n、k为正整数∴k-1为2的正约数∴k-1=2或k-1=1∴或由一种正多边形进行镶嵌，只能有三种情况：(1)正三角形(2)正方形(3)正六边形二、两种

3、正多边形的镶嵌（如图（4））（1）正三角形与正方形的镶嵌（2）正三角形与正六边形的镶嵌（3）正三角形与正十二边形的镶嵌（4）正方形和正八边形的镶嵌3三、三种正多边形的镶嵌——正方形、正六边形和正十二边形四、任意四边形均可平面镶嵌。五、任意三角形均可平面镶嵌。六、请同学们搜集并设计一些平面镶嵌图。资料学习：用正多边形进行平面镶嵌只有17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。3