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《初中数学奥林匹克中的几何问题：第5章张角定理及应用附答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第5章张角定理及应用【基础知识】张角定理设力，C,〃顺次分别是平面内一点尸所引三条射线円，PC,上的点，线段AC,CB对点P的张角分别为0，且Q+0V18O。，则力，C,B三点共线的充要条件是：$血（；：0）=sinasin3+———•PBPA证明如图5・1,A,C,3三点共线oSwpnS'Kp+Sgpsin[iPA推论在定理的条件下，且Q=0,即PC平分ZAPS,则A,C,B三点共线的充要条件是:2cosgPCu>丄刖.PB・sin(a+0)=1p4PC・sina+LpCPBsg222sin(a+
2、0)_sina~~PCPB~PB~PA'注若规定角的绕向，逆时针方向为正，否则为负，则上述定理、推论中的点C可表示在的延长线上的情形.上述定理把平而儿何和三角函数紧密相联，它给出了用三角法处理平面儿何问题的一个颇为有用的公式.用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正眩定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以简捷地解决.【典型例题与基本方法】1•恰当地选择共一端点的两线段对同一视点的两张角，是应用张角定理的关键例1如图5・2,已知ABCD为四边形，两组对边延长后得交点E,
3、F,对角线BD〃EF,的延长线交EF于G・求证：EG=GF.（1978年全国竞赛题）A图5-2证明以E为视点，令乙BEC=a、张角定理，得sin（a+0）_sinasin卩~EC--EFEB'sin（G+0）_sinasin0~ED一EFEA'ZCEG=0,分别对3,C，F；①②A,D,F及4,C,G应用有sin（Q+0）_sin0~ED-EBsin（（7+0）_sinasin0~~EC一EGEA又由BD//EF,有ZBDE=0,在△BED中应用正弦定理,ieqq如2sinasincr由①+②一③一
4、④，得=,EFEG・•・EF=2EG,即EG=GF.例2已知△/3C的顶点力，B,C对应的三边长分别为a,b,c,E为其内切圆圆心，人E交BC于D.求证：—=^-.（1979年广东省竞赛题）EDa证明如图5-3,连BE并延长交/C于F,令ABAE=a,由于E为内心，则AEAF=a.以/为视点，分别对〃，E,F及B,D,C应用张角定理的推论，得AB图5—32cos<211=1AEABAF上述两式相除，得2COS<211—1.ADABACAD_AC(AB^-AF)AE~AF{ACAB}AD^AE^ED^
5、EDAEAEAE从而ED_4B(AC-4F)_MBCF~AE~AF{AC-^AB)~UAB+4C又貯平分级则着算于是，由上式代入①式，得巴二BC,故些=土.AEAB+ACEDa例3如图5・4,在卩q边形MBCD中,对角线/C平分ABAD.在CD上収一点E,BE与/C相交于F,延长QF交BC于G.求证：ZGAC=ZEAC.（1999年全国高中联赛题）证明作ZCWCAE，图5-4交BC于G'•只须证GSD三点共线，设ZBAC=ZCAD=0,ZCAG'=ZCAE=a.以/为视点，分别对F,E；B,sin(
6、O+Q)_sinasin&IfAB~AEfsin&_sino,sin(0-a)7=I9AGABACsin&sinasin(&—a)—+9AEADACC；C,E,D应用张角定理，有①②③由①-②+③式，得驾評sin(7sin&~AD^~AG又以/为视点，对G‘，F,D应用张角定理，知G‘，F,D三点共线.由此，知G'与G重合，故ZGAC=ZEAC.例4如图5・5,己知是AMC的边3C上的中线，任作一直线顺次交AB,AC,于P,0,N・求证：—,—,虫成等差数列.（1979年辽宁省竞赛题）APANAQA
7、图5-5证明令ZBAM=a,ZMAC=fi,ZAMB=&•以/为视点，分别对几N,Q&B,M,C应用张角定理，有sin(a+0)_sin0*sina①~AN-~AP+AQ，ACsin(a+0)_sin0sinaAM-AB又在/ABM和A/MC中，由正眩定理，有sin0_sinaMBsin&_sin/?MC注意站iC,上述两式相除得薯=警于是②式变为sin(a+0)_2sin[i_2sina~~7m~AB~AC由①式除以上式，得AM(ABAC}=+AN2{APAQ)ABAM乔，^AN話成等差数列.
8、2.找准视点，寻找到与题设条件或结论有关的线段所在的三角形，是灵活应用张角定理的前提.例5如图5・6,圆的割线血3通过圆心O,自P作圆的任一割线PCD交圆于C,D,又在圆上取一点E,使Ee=》D,连CE交AB于F.求证：—=—+ABBPBF图5-6证明连力C,BC,令上ECB—ABCD=Z2,Z4CE=Z3,Z4CP=Z4,AC=atBC=b.由於E=亦，有Z1=Z2.连BD,由S£=9z),有Z3=ZABD=Z4.以C为视点，考察线段AB,BP,所在的三角形△力2（
