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《初中数学奥林匹克中的几何问题：第6章西姆松定理及应用附答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六章西姆松定理及应用【基础知识】西姆松定理过三角形外接圆上界于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）.证明如图6-1,设P为△ABC的外接圆上任一点，从P向三边BC,CA,所在直线作垂线，垂足分别为厶，M,N.连PA,PC，由P,N,A,M四点共圆，有乙PMN=ZPAN=ZPAB=ZPCB=乙PCL.又P,M,C,厶四点共圆，有ZPML=ZPCL.®ZPMN=APML,即厶，N,M三点共线.注此定理有许多证法.例如，如下证法：如图6-1,连PB,令ZPBC=a,ZPCB=p,ZPCM=丫,贝ijAPM=a,乙PAN=B,ZP
2、BN=y,且BL=PBcosa,厶C=PCcos0,CM=PCcosy,MA=PAcosa,AN=PA・cw0,NB=PBcosy.对厶ABC,冇BLCMANPB-cosaPC-cosyPA-cos/?,亠“舟出、：冃卄住宀曲今、丫宀曲亦「“"一上==1.故由梅涅劳斯定理之逆定理，知厶，N,M二点LCMANBPC•cos0PA-cosaPB-cosy共线.西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理來证（略）.西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上.证明如图6・1,设点P在△ABC的三边BC,CA,AB所
3、在肓线上的射彩分别为厶，M,N,且此三点共线.由PN丄AB于N,PM丄AC于M,PL丄BC于厶，知P,B,L,N反P,N,A,M分别四点共圆，而AB^LM相交于N,则ZPBC=ZPBL=ZPNM二乙PAM,从ifijP,B,C,A四点共鬪，即点P在AABC的外接圆上.【典型例题与基本方法】1.找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射彩，是应用西姆松定理的关键例1如图6・2,过正△ABC外接圆的Hc±点P作PD丄肓线AB于D,作PE丄AC于£,作PF丄BC于F.求证：—+—=PFPDPEAIDf7c证明由PD丄直线AB于D,PE丄AC于E,PF丄BC于F,知A,
4、E,P,D及.E,F,C,P分別四点共圆，则ZDPE=ZBAE=60°,ZEPF=ZECF=60°.由西姆松定理，知D，E,F三点共线，从而以P为视点，对APDF应用张角定理，，-sinZDPFsinZDPEsinZEPF刖sin120。sin60°sin60°(/111PEPFPDPEPFPDPFPDPE例2如图6-3,设ADfBE,CF为△4BC的三条高线，自D点作DP1AB于P,DQ丄BE于Q,DRA.CF于R,DS丄AC于S,连PS.求证：Q,R在直线PS上.证明由于的外接圆为口BDHF,而D为该圆上一点，且D在NBFH三边所在直线上的射影分别为P,Q
5、、R,于是，由西姆松定理知P,Q,R三点共线.同理，町证Q,R,S是的西姆线上三点.由于直线PQR与直线QRS有两个公共点Q,R,所以这两直线重合，故Q,/?在直线PS上.例3如图6-4,设P为△ABC外接圆上一点，作PAf丄BC交圜周于"，作PB'丄直线AC交圆周于B',作PC'丄AB交圆周J*C.求证：AA7//BBf//CCf.证明设PA'丄BC于厶，PB'上直线4C于/V,PC'丄4B于M,则由西姆松定理知厶，M,N三点共线.注意到厶，B,P,M及A',B,P,4分别四点共圆，连贝IJZAMN=ZBML=ZBPL=ABPA!=ZBAA',于是AAf//
6、LN.同样，注意到4,B,P,B'反A,M,P,N分别四点共圆，连P4,贝9ZABB'=ZAPB'=ZAPN=ZAMN,予是BB'//LN.由A,P,C',C四点共圆，知ZACC'+ZAPC'=180。.注意到ZAPC'=ZAPM=ZANM=ZCNM,则Z.CCf+ZCNM=180°,于是CCf//LM,故AA7//BB‘//CCf.例4如图65设P为ZUBC外接圆内一点，过P作PD丄BC于Q,作PF丄直线AB于F,设H为△ABC的垂心.延长PD至P',使PD=P'D.求证：HPy/DF.（1979年山西省竞赛题改编）证明连AH并延长交BC于A',交圆于则由
7、ZHCB=ZBAH'=ZBCH',知又由已知PH丄BC,且连PH',则知PH'与P7/关于BC对称，从而乙PH'H="HH'.由于从P点己向△ABC的两边所在直线ABfBC引了垂线PF,",再过点P向边4C所在直线作垂线PE,垂足为£,则由西姆松定理，知F,D,E三点共线，设西姆松线EF与HA'交于M.此时，乂由P,C,E,D四点共圆，冇ZCPE=ZCDE.在RtAPCE'I',ZCPE与ZPCE互余；在RtAMDA,中，ZA'DM=ZCDE与ZDMA'互余.故ZDMA'=ZPCE=ZPCA=ZPH'H=ZPHH',山此即知HP'//EF,故HP'//DF.例
8、5如图6-6,设P为△ABC外接圆上一
