初中数学奥林匹克中的几何问题：第3章托勒密定理及应用初中数学

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1、第三章托勒密定理及应用【基础知识】托勒密定理圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积．证明如图3-1，四边形内接于，在上取点，使，则，于是．又，有．上述两乘积式相加，得．①注此定理有多种证法，例如也可这样证：作交于，连，，则知为等腰梯形，有，，，且，令，与交于，则，．易知，从而有．推论1（三弦定理）如果是圆上任意一点，，，是该圆上顺次的三条弦，则．②事实上，由①式，应用正弦定理将，，换掉即得②式．推论2（四角定理）四边形内接于，则．③事实上，由①式，应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式．直线上的托勒密定理（或欧拉定理）若，，，为一

2、直线上依次排列的四点，则．注由直线上的托勒密定理有如下推论：若，，，是一条直线上顺次四点，点是直线外一点，则．事实上，如图3-2，设点到直线的距离为，由，有，用两边及夹角正弦形式的三角形面积表示上式后，两边同除以即得推论．由上述推论也可证明圆内接四边形中的托勒密定理．证明如图3-3，在图上取一点，连、、、，设交于，交于．由正弦定理，，，，，，其中为圆的半径．对、、、应用直线上的托勒密定理的推论，有．故．四边形中的托勒密定理（或托勒密不等式）设为任意凸四边形，则，当且仅当，，，四点共圆时取等号．证明如图3-4，取点使，，则，即有，且，即．①

3、又，有，亦有．②由①式与②式，注意到，有．其中等号当且仅当在上，即时成立．此时，，，四点共圆．由此，即有托勒密定理的逆定理在凸四边形中，若，则，，，四点共圆．【典型例题与基本方法】1．恰当地作出或选择四边形，是应用托勒密定理的关键例1在中，角，，的对边分别为，，．若角，，的大小成等比数列，且，则角的弧度数等于多少？（1985年全国高中联赛题）解如图3-5，过点作交的外接圆于，连，则四边形为等腰梯形．由托勒密定理，有．由已知有，则，从而，即，亦即．又因为在中，角，，的大小成等比数列，则公比，从而，故，为所求．例2凸四边形中，，，，，对角线，

4、交于点．如图3-6，求．（1996年北京中学生竞赛题）解因，则，，，四点共圆．延长，交于，则．设，有，，由割线定理，有．求得，．对应用托勒密定理，有．又．从而，．故．例3如图3-7，已知在中，，的一个外角的平分线交的外接圆于点，过作，垂足为．求证：．（1989年全国高中联赛题）证明在上取点，使，连并延长交圆于，连，，则，（在的延长线上），从而，且．于是，注意，有，故．连，对四边形应用托勒密定理，有，即．于是．其中可由推得．注（1）也可应用三弦定理证明．设，则，．对，，应用三弦定理，得，即．又在中，，故．（2）也可以应用阿基米德折弦定理证明

5、．由，有，即．例4如图3-8，在锐角的边上有两点，，满足，作于，于，延长交的外接圆于点．证明：四边形与的面积相等．（2000年全国高中联赛题）证明设，，有，其中为外接圆半径．又．由托勒密定理，有，例5如图3-9，在中，，，点是外心，两条高，交于点，点，分别在线段，上，且满足．求的值．（2002年全国高中联赛题）解法1连，，由三角形外心及垂心性质，知，，即，，，四点共圆．在此圆中对四边形应用托勒密定理，有．设的外接圆半径为，则，且由，知，即有，亦即．而，故为所求．解法2同解法1，知，，，四点共圆，有，而，，则，从而，，由此知，，，四点共圆，

6、且等腰的顶角，即知．对四边形，应用托勒密定理，有，故为所求．注此例的其他证法可参见第四章例2，第十五章例17．例6已知内切圆分别与边、切于点、，直线、分别与交于另一点、．求证：．（2010年东南奥林匹克题）证明设内切圆于点，联结、、、（图略）．由及，有及．注意到，有．同理，有．分别对四边形及应用托勒密定理，有，．这两式相乘，有．又由托勒密定理，有．故．2．注意托勒密定理逆定理的应用和拓广的托勒密定理或托勒密定理推论的应用例7若右四个圆都与第五个圆内切，第一个与第二个圆的外公切线的长用表示，其他前四个圆中的两两的外公切线也用同样的方法来标记

7、，且前四个圆以顺时针的顺序排列，试证明依次以，，，为边长，以，为对角线所构成的凸四边形的四个顶点共圆．（《中等数学》1999年第5期高中奥林匹克题）证明如图3-10，设前四个圆分别为，，，，第五个圆为，前四个圆与分别内切于，，，，则易知，，三点共线．类似地，有，，；，，；，，三点共线．设五个圆的半径分别为，，，，；，，，；，，，，则，，，．从而，．故．同理，可求得，，，，．要证明以，，，为边长，以，为对角线所构成的凸四边形的四个顶点共圆，只要证明，化简后只要证明，①即．这由托勒密定理的推论2即证．注对于①也可由正弦定理转换成即证．此例是一

8、个富有应用价值的问题．托勒密定理是这个问题中四个圆均变为点（过该点线成了“点圆”的切线）的情形．例8经过的平分线上的一点，任作一直线与及分别相交于，．求证：为定值．证明如图3-11，过，，三点