初中数学奥林匹克中的几何问题：第7章九点圆定理及应用初中数学

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1、第七章九点圆定理及应用【基础知识】九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，这九点共圆．如图7-1，设三条高，，的垂足分别为，，；三边，，的中点分别为，，；又，，的中点分别为，，．求证：，，，，，，，，九点共圆．证法1连，，，，则知，即知为平行四边形．又，知为矩形．从而，，，四点共圆，且圆心为与的交点．同理，为矩形，从而，，，，，六点共圆，且，，均为这个圆的直径．由，知，，三点也在这个圆上．故，，，，，，，，九点共圆．证法2设的外心为，取的中点并记为，连，以为圆心，

2、为半径作，如图．由，知在上．同理，，也在上．由（可由延长交的外接圆于，得为平行四边形，此时为的中点，则为的中位线即得），知．又，知，从而，且，，共线，故在上．同理，，在上．由，，共线知为的一条直径．又，，，知，，在上，故，，，，，，，，九点共圆．上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆，显然，正三角形的九点圆即为其内切圆．证法3由，有．注意到、分别为、的中点，则，即，这表明、、、四点共圆（或者联结、，则由知、、、四点共圆）．同理，、、、及、、、分别四点共圆．由戴维斯定理，即知、、、、、六点共圆

3、于．又，有，注意、分别为、中点，则，知、、、共圆，即点在圆上．同理，点、也在圆上，故九点均在圆上．注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合），若每两对点同在一个圆上，则三对点（六点）均在同一圆上．事实上，若所说三个圆不重合．则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行，这是不可能的，所以三个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情形．由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：推论1九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是的外接圆半径的．注意到与是以垂心为外位似中心的位似

4、形，位似比是，因此，可得推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连接线段被九点圆截成相等的两部分．注意到欧拉定理（欧拉线），又可得推论3的外心，重心，九点圆圆心，垂心，这四点（心）共线，且，，或和对于和是调和共轭的，即．推论4的九点圆与的外接圆又是以的重心为内位似中心，位似比为的位似形．事实上，因为两相似三角形与的相似中心，而的外接圆即的九点圆．推论5一重心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九

5、点圆．【典型例题与基本方法】例1如图，设为的垂心，为边的中点，为的中点．过作的垂线交于，交的延长线于．求证：，，，四点共圆．证明设的外心为，连，取的中点，则为九点圆的圆心．连，则，从而．设为的中点，连，则，由此知．又，则．从而．故，，，四点共圆．例2试证：的垂心与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分．证明如图，过垂心作外接圆的两条弦，，连，．设，，，分别为，，，的中点，则，．又，则．故，，，四点共圆，由，的任意性，得与外接圆上任意点连线的中点在同一圆上，由于这个圆过，，的中点，故这个圆就是的九点圆，从而

6、命题获证．例3如图，中，为外心，三条高，，交于点，直线和交于点，和交于点．求证：（1），；（2）．（2001年全国高中联赛题）证明（1）设的外接圆半径为，由相交弦定理，有，，从而．由，，，四点共圆，有，即，亦即，故．同理，．（2）由九点圆定理的推论1，知的中点为的外心．又由，，，及，，，分别四点共圆，有，．由此，即知，对的外接圆与的外接圆的幂相等，从而，在这两个外接圆的根轴上，即有，故．【解题思维策略分析】1．注意题中九点圆的显现形式例4如图，中，为外心，是垂心，作，和的外接圆，依次记它们的圆心为，，

7、，求证：，且这两个三角形的九点圆重合．（预选题）证明由于，知外接圆的半径和外接圆的半径相等，从而，有是关于的对称点．设是中点，则知，即．又，则连与的交点为平行四边形的中心，即与互相平分于．同理，，也经过且被它平分，从而与关于中心对称，故．显然，是九点圆的圆心．因此，这个圆关于作中心对称时不变，它也是的九点圆．例5如图，在中，是边上的高，，分别是，两边的中点，设直线通过点，且在上的射影为，连与交于点．求证：，，，四点共圆，且其圆心与点均在的九点圆上．证明，，，．在中，为斜边的中点，令，则．同理，，．令，

8、则．于是，，故．由此，知，，，四点共圆．而的外接圆即为的九点圆，即点在的九点圆上．由，，，四点共圆，连，则知．同理，．于是，，故，，，四点共圆．由题设，的圆心为，连，，则．由于，，，四点共圆且以为其圆心，则知．于是，有，，，，，四点共圆．在上，即在的九点圆上，故命题获证．2．注意题中九点圆的隐含形式例6如图，锐角中，角的等分线与三角形的外接圆交于另一点，点，与此类似．直线与，两角的外角等分线交于，点，与此类似．求证：（1）的面积是六边形面积的二倍；（2）