初中数学奥林匹克中的几何问题：第5章张角定理及应用初中数学

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1、第5章张角定理及应用【基础知识】张角定理设，，顺次分别是平面内一点所引三条射线，，上的点，线段，对点的张角分别为，，且，则，，三点共线的充要条件是：．证明如图5-1，，，三点共线．推论在定理的条件下，且，即平分，则，，三点共线的充要条件是：．注若规定角的绕向，逆时针方向为正，否则为负，则上述定理、推论中的点可表示在的延长线上的情形．上述定理把平面几何和三角函数紧密相联，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式．用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以简捷地解决．【典型例题与基本方法】1．恰当地选择共一端

2、点的两线段对同一视点的两张角，是应用张角定理的关键例1如图5-2，已知为四边形，两组对边延长后得交点，，对角线，的延长线交于．求证：．（1978年全国竞赛题）证明以为视点，令，，分别对，，；，，及，，应用张角定理，得，①，②．③又由，有，在中应用正弦定理，有．由①②③④，得，，即．例2已知的顶点，，对应的三边长分别为，，，为其内切圆圆心，交于．求证：．（1979年广东省竞赛题）证明如图5-3，连并延长交于，令，由于为内心，则．以为视点，分别对，，及，，应用张角定理的推论，得，．上述两式相除，得，而，从而．①又平分，则，即．于是，由上式代入①式，得，故．例3如图5-4，在四边形中，对角线

3、平分．在上取一点，与相交于，延长交于．求证：．（1999年全国高中联赛题）证明作，交于．只须证，，三点共线，设，．以为视点，分别对，，；，，；，，应用张角定理，有，①，②，③由①②③式，得．又以为视点，对，，应用张角定理，知，，三点共线．由此，知与重合，故．例4如图5-5，已知是的边上的中线，任作一直线顺次交，，于，，．求证：，，成等差数列．（1979年辽宁省竞赛题）证明令，，．以为视点，分别对，，及，，应用张角定理，有，①．②又在和中，由正弦定理，有，．注意到，上述两式相除得．于是②式变为．由①式除以上式，得．故，，成等差数列．2．找准视点，寻找到与题设条件或结论有关的线段所在的三角

4、形，是灵活应用张角定理的前提．例5如图5-6，圆的割线通过圆心，自作圆的任一割线交圆于，．又在圆上取一点，使，连交于．求证：．证明连，，令，，，，，．由，有．连，由，有．以为视点，考察线段，，所在的三角形和，分别应用张角定理，有，．即，．由此，知．在中，由余弦定理，得．因，则，即．于是，．同理，在中，有．又在中，，故．注此例结论表示是与的调和平均，亦表示调和分割弦．例6（第一章例12）任意四边形的一组对边与交于，过作割线交另一组对边所在直线于、，交对角线所在直线于、．求证：．证明如图5-7，，，，由张角定理得：，①，②，③．④由①④②③得，故．注此例也可运用线段的调和分割来证明，可参见

5、第十一章例9．对于第十一章的例10，也可运用张角定理来证．请看下例：例7圆内接四边形一组对边、延长线交点，过点任作直线分别交圆于、，交、所在直线于、，求证：．证明设，，并分别取、、中点、、，如图5-8，显然、、、和圆心五点共圆，由托勒密定理可知：．对三边用正弦定理代入得：，两边乘2，即．又，则．由张角定理：，，因此．当与、的延长线相交同时与圆相交（或相切），如图5-9，例7仍然成立，证法相同．当与，相交或与它们的延长线相交，同时也与圆相交（或相切），例题7也成立，证法也相同．如图5-10，相切时．例8圆内接，切线点交的延长线于，过任作直线交圆于、，交、分别于、，求证：．证明设，，并分别

6、取、中点、，如图5-11，显然、、、和圆心五点共圆，由托勒密定理可知，对三边用正弦定理代入得，两边乘2，即．因为，从而．由张角定理，，．因此．【解题思维策略分析】1．给出著名问题的一种新证法例9（斯坦纳定理）在中，，分别是，的平分线．若，则．证明如图5-12，令，，分别以，为视点，对应用张角定理的推论，有，．亦有，亦即．对上式应用分比定理，把化为积，并变形可得．①显然，，，均只能为锐角．若，则①式左端为正，而右端为负，若，则①式左端为负，而右端为正．所以．例10（蝴蝶定理）已知是的弦的中点，过任作两弦，，连，分别交于，，则．证明如图5-13，令，．以为视点，对和分别应用张角定理，有，．

7、上述两式相减，得．设，分别是，的中点，由，有于是，．而，知．故．注类似地应用张角定理，可证明如图5-8中的．2．获得线段倍分关系的一种途径例11已知是的重心，过作直线分别交的两边，于，．求证：．证明如图5-14，作中线，，令，．以为视点，分别对，应用张角定理，有，．注意到，，，则，①．②①②，得．而，故，即．例12如图5-15，平行四边形中，在边上取一点，使，在边上取点，使，且交于．求证：．证明连交于，则．令，，，．以为视点，分别对和应用张角定